[論文レビュー] Linear Quadratic Optimal Control and Stabilization for Discrete-time Markov Jump Linear Systems

Chunyan Han, Hongdan Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限時間ホライズン離散時間マルコフ跳躍線形システム（MJLS）における最適制御則の存在に関する必要十分条件を、結合差リカチ方程式（CDRE）から導出し、無限時間ホライズンMJLSにおける平均二乗安定化の必要十分条件を、関連する結合代数的リカチ方程式（CARE）の唯一の正定値解の存在を通じて確立する。主な貢献は、検出可能性仮定を必要としない、検証可能な正定値基準に基づく安定化条件の提示である。

ABSTRACT

This paper mainly investigates the optimal control and stabilization problems for linear discrete-time Markov jump systems. The general case for the finite-horizon optimal controller is considered, where the input weighting matrix in the performance index is just required to be positive semi-definite. The necessary and sufficient condition for the existence of the optimal controller in finite-horizon is given explicitly from a set of coupled difference Riccati equations (CDRE). One of the key techniques is to solve the forward and backward stochastic difference equation (FDSDE) which is obtained by the maximum principle. As to the infinite-horizon case, we establish the necessary and sufficient condition to stabilize the Markov jump linear system in the mean square sense. It is shown that the Markov jump linear system is stabilizable under the optimal controller if and only if the associated couple algebraic Riccati equation (CARE) has a unique positive solution. Meanwhile, the optimal controller and optimal cost function in infinite-horizon case are expressed explicitly.

研究の動機と目的

• 入力重み行列が正定値でなくてもよい（半正定値に限定）有限時間ホライズン離散時間マルコフ跳躍線形システム（MJLS）における最適制御問題に対処すること。
• 結合差リカチ方程式（CDRE）を用いて、有限時間ホライズンにおける最適制御則の存在に関する必要十分条件を導出すること。
• 無限時間ホライズンにおけるMJLSの平均二乗安定化可能性に関する必要十分条件を確立すること。
• 検出可能性仮定を必要とせず、CAREの正定値解の存在にのみ依存する、容易に検証可能な安定化条件を提供すること。
• 無限時間ホライズンにおける最適制御則および最適コスト関数を明示的に表現すること。

提案手法

• 正定値半正定値入力重み行列を有する性能指標を用いて最適制御問題を定式化し、従来の正定値重みを要件としていた結果を一般化すること。
• 確率的最適化原理を適用して前向き・後ろ向き確率的差分方程式（FDSDE）を導出し、最適制御則を導出する。
• 結合差リカチ方程式（CDRE）を、有限時間ホライズン最適制御の存在に関する必要十分条件として導出する。
• 無限時間ホライズン安定化の主要方程式として結合代数的リカチ方程式（CARE）を確立し、最適制御則とCAREの解との関係を明示する。
• 平均二乗安定化可能性がCAREの唯一の正定値解の存在と同値であることを証明し、弱検出可能性仮定の必要性を排除する。
• 数値シミュレーションを用いて理論的結果を検証し、リカチ係数の収束、最適状態軌道、制御入力の時間的変化を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力重み行列が正定値でない（半正定値に限定）有限時間ホライズン離散時間MJLSにおける最適制御則の存在に関する必要十分条件は何か？
• RQ2 無限時間ホライズンにおけるMJLSについて、最適制御則およびコスト関数はどのように明示的に表現できるか？
• RQ3 無限時間ホライズンにおけるMJLSの平均二乗安定化可能性に関する必要十分条件は何か？
• RQ4 弱検出可能性などの検出可能性概念に依存せずに、安定化条件を定式化できるか？
• RQ5 結合代数的リカチ方程式（CARE）の解は、実際の安定化可能性の検証にどのように利用できるか？

主な発見

• 有限時間ホライズンにおける最適制御則の存在に関する必要十分条件は、結合差リカチ方程式（CDRE）の可解性であり、最適化原理と前向き・後ろ向き確率的差分方程式の解法により確立される。
• 無限時間ホライズンにおいて、システムは、関連する結合代数的リカチ方程式（CARE）が唯一の正定値解をもつ場合に限り、平均二乗安定化可能である。
• 無限時間ホライズンにおける最適制御則は $ u(k) = -\Upsilon_i^{-1}M_i x(k) $ で与えられ、最適コストは $ J^* = \mathbb{E}\{x_0^\prime P_{\theta(0)}x_0\} $ としてCAREの解から明示的に導出される。
• 提案された安定化条件は必要十分であり、CARE解の正定値性を確認するだけで容易に検証可能であり、従来の方法が複雑な検出可能性チェックを要するのとは対照的である。
• 2次系と2モードのマルコフ連鎖を用いた数値シミュレーションにより、リカチ係数の収束および最適制御則と状態軌道の有効性が確認された。
• 正定値入力重み行列や弱検出可能性仮定といった制限的仮定を排除することで、より実用的で計算的に検証可能な基準を提供し、先行研究を一般化した。