[論文レビュー] Linear Quaternion Differential Equations: Basic Theory and Fundamental Results

Kit Ian Kou, Yonghui Xia|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2015

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、クォータニオンの非可換性に起因する根本的課題に取り組み、線形クォータニオン微分方程式（QDEs）の体系的理論的枠組みを確立する。非可換性のため、従来の線形空間としての解の構造が成り立たないため、解に対して右自由モジュール構造を新たに導入し、二重行列式を用いたWronskianの再定義、Liouvilleの公式の証明、および基本行列を計算する2つのアルゴリズムを提示する。これにより、量子力学、アタッチメントダイナミクス、カルマンフィルタリングへの応用が可能となる。

ABSTRACT

Quaternion-valued differential equations (QDEs) is a new kind of differential equations which have many applications in physics and life sciences. The largest difference between QDEs and ODEs is the algebraic structure. On the non-commutativity of the quaternion algebra, the algebraic structure of the solutions to the QDEs is completely different from ODEs. It is actually a left- or right- free module, not a linear vector space. This paper establishes a systematic frame work for the theory of linear QDEs, which can be applied to quantum mechanics, fluid mechanics, Frenet frame in differential geometry, kinematic modelling, attitude dynamics, Kalman filter design and spatial rigid body dynamics, etc. We prove that the algebraic structure of the solutions to the QDEs is actually a left- or right- module, not a linear vector space. On the non-commutativity of the quaternion algebra, many concepts and properties for the ordinary differential equations (ODEs) can not be used. They should be redefined accordingly. A definition of Wronskian is introduced under the framework of quaternions which is different from standard one in the ordinary differential equations. Liouville formula for QDEs is given. Also, it is necessary to treat the eigenvalue problems with left- and right-sides, accordingly. Upon these, we studied the solutions to the linear QDEs. Furthermore, we present two algorithms to evaluate the fundamental matrix. Some concrete examples are given to show the feasibility of the obtained algorithms. Finally, a conclusion and discussion ends the paper.

研究の動機と目的

• 線形クォータニオン微分方程式（QDEs）の体系的理論的枠組みを確立すること。QDEsは広範な応用があるものの、依然として理論的整備が不十分である。
• クォータニオンの非可換性のため、QDEの解が線形ベクトル空間を形成しないという根本的問題を解決すること。
• 通常微分方程式（ODEs）から直接拡張できない、QDEsにおけるWronskian や Liouville の公式といったコアな概念を再定義すること。
• 線形QDEsの基本行列を計算する実用的なアルゴリズムを開発し、数値的・解析的応用を可能とすること。
• 2次元から任意のn次元QDEsへと理論を拡張し、物理学および工学分野への広範な適用可能性を確保すること。

提案手法

• クォータニオン乗法の非可換性のため、解に対して従来の線形ベクトル空間ではなく、右自由モジュール構造を新たに提案する。
• 標準的なCaley行列式に起因する非可換性の問題を克服するため、二重行列式 $\text{ddet}\, M = \text{rddet}(MM^+)$ を用いた新しいWronskian定義を導入する。
• 非可換代数の性質を反映した、ODEとは根本的に異なるQDE用のLiouville公式を導出する。
• クォータニオン固有値が固有ベクトルと非可換であることに着目し、左固有値問題と右固有値問題を別々に取り扱う。
• クォータニオン設定下での固有ベクトルおよび固有値解析に基づき、線形QDEsの基本行列を計算する2つのアルゴリズムを提示する。
• 具体的な例を用いてフレームワークを検証し、構築された行列が微分方程式を満たし、非ゼロの二重行列式を持つことを直接確認する。

Figure 1: Inertial Frame

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォータニオンの非可換性を考慮すると、線形クォータニオン微分方程式の解の集合がどのような代数的構造をとるのか。
• RQ2 QDEsにおけるWronskianをどのように再定義すれば、解の線形独立性を確実に評価できるか。
• RQ3 QDEsにLiouvilleの公式が存在するか。また、古典的ODEバージョンとはどのように異なるか。
• RQ4 左固有値と右固有値が異なること、かつ非可換であることから、QDEsにおける固有値問題はどのように取り扱うべきか。
• RQ5 線形QDEsの基本行列を信頼性高く計算するためのアルゴリズムを開発できるか。

主な発見

• 線形QDEの解の集合は、クォータニオンの非可換性のため、線形ベクトル空間ではなく、右自由モジュールをなす。
• 二重行列式 $\text{ddet}\, M = \text{rddet}(MM^+)$ を用いた新しいWronskian定義を導入し、これは不変かつQDEに適したものである。
• QDE用のLiouville公式を証明し、基本行列の二重行列式が特定の指数関数的法則に従って変化することを示した。
• QDEにおける固有値問題は、左固有値 $A\nu = \nu\lambda$ と右固有値 $A\nu = \mu\nu$ の両方を別々に取り扱う必要があり、それぞれ異なる解構造をもたらす。
• 基本行列を計算する2つのアルゴリズムを開発・検証し、2次元の具体例を用いて直接検証により正しさを示した。
• 理論的枠組みは任意の $n$-次元線形QDEsへと一般化可能であり、量子力学、流体動力学、アタッチメント制御系などへの応用が可能となる。

Figure 2: Vehicle-1 Frame.