[論文レビュー] Linear quaternion-valued Dynamic Equations on Time Scales

Dong Cheng, Kit Ian Kou+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2016

Matrix Theory and Algorithms被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、p-行列式を用いた新規のロンスキー行列式を導入することで、線形クォータニオン値微分方程式を任意の時刻スケールに拡張し、基本行列解に対するリウヴィルの公式およびプツァーのアルゴリズムの適用を可能にした。非同次方程式に対しては定数変化の公式を確立し、非可換クォータニオンを伴う動的システムにおけるQDEの統一的枠組みを提供した。

ABSTRACT

The study of dynamic equations on time scales provides a unified analysis of different types of dynamic equations such as differential equations and difference equations. Recently, the theory of linear quaternion-valued differential equations (QDEs) was established. In this paper, we generalize the theory of QDEs to quaternion-valued dynamic equations on arbitrary time scales (QDETs). The definition of Wronskian determinant for QDEs is inconvenient to be used for QDETs due to the differences between traditional derivative and delta derivative. Using $p$-determinant, we define a novel Wronskian for QDETs. And the Liouville's formula is given. We also present the Putzer's algorithm to compute fundamental solution matrix for homogeneous QDETs and deduce the variation of constants formula to solve nonhomogeneous QDETs. Finally, examples are given to illustrate our results.

研究の動機と目的

• 線形クォータニオン値微分方程式を任意の時刻スケールに一般化し、微分方程式と差分方程式の枠組みを統一すること。
• 時刻スケール動的システムにおけるデルタ微分と整合しない従来のロンスキー行列式定義の不適合性を解消すること。
• 時刻スケール上でのクォータニオン値動的方程式に適した、p-行列式を用いた新規のロンスキー行列式を構築すること。
• 非同次クォータニオン値動的方程式に対するリウヴィルの公式および定数変化の公式を確立すること。
• クォータニオン設定における基本解行列の構築に役立てる計算ツール（例えばプツァーのアルゴリズム）を提供すること。

提案手法

• 古典的ロンスキー行列式の時刻スケール動的システムにおける限界を克服するため、p-行列式に基づく新規のロンスキー行列式行列式を導入すること。
• 時刻スケールの文脈において非可換乗法を扱えるよう、クォータニオン行列のp-行列式を定義すること。
• p-行列式に基づくロンスキー行列式を用いて、時刻スケール上でのクォータニオン値動的方程式に対するリウヴィルの公式を導出すること。
• プツァーのアルゴリズムを、同次クォータニオン値動的方程式の基本解行列を計算するように適応すること。
• 非同次クォータニオン値動的方程式に対して、定数変化の公式を確立すること。
• 提案手法の適用を具体的に示す例題を提示して理論を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デルタ微分を考慮する場合、任意の時刻スケール上でのクォータニオン値動的方程式に対して、古典的ロンスキー行列式をどのように再定義すればよいか？
• RQ2 時刻スケール上でのクォータニオン値動的方程式の文脈において、リウヴィルの公式の適切な一般化は何か？
• RQ3 プツァーのアルゴリズムは、時刻スケール上での同次クォータニオン値動的方程式の基本解行列を計算するために適応可能か？
• RQ4 非同次クォータニオン値動的方程式に対して、定数変化の公式をどのように導出し、適用すればよいか？
• RQ5 非可換クォータニオン系におけるロンスキー行列式の整合性と有用性を保証するために、p-行列式は果たす役割は何か？

主な発見

• p-行列式に基づく新規のロンスキー行列式が、時刻スケール上でのクォータニオン値動的方程式に定義され、デルタ微分下での従来のロンスキー行列式定義の問題を解消した。
• p-行列式に基づくロンスキー行列式を用いて、時刻スケール上でのクォータニオン値動的方程式に対するリウヴィルの公式が成功裏に一般化された。
• プツァーのアルゴリズムが、時刻スケール上での同次クォータニオン値動的方程式の基本解行列を計算するために適応された。
• 非同次クォータニオン値動的方程式に対して、定数変化の公式が導出され、積分を用いた解の構築が可能になった。
• 理論的結果は、具体的な例題を通じて検証され、提案された枠組みの実用的適用可能性が示された。