[論文レビュー] Linear rank-width of distance-hereditary graphs I. A polynomial-time algorithm

Isolde Adler, Mamadou Moustapha Kanté+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 33被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、距離分離的グラフ（ランク幅が1以下であるグラフ）の線形ランク幅をO(n² log² n)時間で計算する多項式時間アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、標準的スプリット分解に基づく新しい特徴付けと、'肢'と呼ばれる新しい構造的概念を用いる。主な貢献は、線形ランク幅を示す線形配置を同時に出力する構成的アルゴリズムであり、ランク幅が2以下のマトロイドのパス幅を計算する即時の応用が可能である。

ABSTRACT

Linear rank-width is a linearized variation of rank-width, and it is deeply related to matroid path-width. In this paper, we show that the linear rank-width of every $n$-vertex distance-hereditary graph, equivalently a graph of rank-width at most $1$, can be computed in time $\\mathcal{O}(n^2\\cdot \\log_2 n)$, and a linear layout witnessing the linear rank-width can be computed with the same time complexity. As a corollary, we show that the path-width of every $n$-element matroid of branch-width at most $2$ can be computed in time $\\mathcal{O}(n^2\\cdot \\log_2 n)$, provided that the matroid is given by an independent set oracle. To establish this result, we present a characterization of the linear rank-width of distance-hereditary graphs in terms of their canonical split decompositions. This characterization is similar to the known characterization of the path-width of forests given by Ellis, Sudborough, and Turner [The vertex separation and search number of a graph. Inf. Comput., 113(1):50--79, 1994]. However, different from forests, it is non-trivial to relate substructures of the canonical split decomposition of a graph with some substructures of the given graph. We introduce a notion of `limbs' of canonical split decompositions, which correspond to certain vertex-minors of the original graph, for the right characterization.

研究の動機と目的

• 距離分離的グラフ（ランク幅が1以下）の線形ランク幅を計算する多項式時間アルゴリズムを開発すること。
• 標準的スプリット分解に基づく線形ランク幅の構造的特徴付けを確立し、分解の部分構造と部分グラフとの関係を確立する課題を克服すること。
• 標準的スプリット分解における'肢'の概念を導入し、これは元のグラフの頂点マイナーに対応し、再帰的特徴付けを可能にする。
• 距離分離的グラフに適用されたアルゴリズム的結果を、ランク幅が2以下のマトロイドのパス幅計算へと拡張すること。
• ランク幅が1より大きいグラフへのこのアプローチの拡張のための基盤を築くこと。

提案手法

• 標準的スプリット分解における'肢'の概念を導入・形式化し、これは元のグラフの特定の頂点マイナーに対応する部分構造である。
• 距離分離的グラフの標準的スプリット分解における肢の構造に基づき、線形ランク幅の再帰的特徴付けを開発する。
• 肢に基づく再帰的特徴付けを用いて、O(n² log² n)時間で線形ランク幅を計算する動的計画法アルゴリズムを設計する。
• 肢の構造に従って特定の順序で標準的スプリット分解を走査することで、線形ランク幅を示す線形配置を構築する。
• マトロイドのブランチ幅とグラフのランク幅（＋1）の既知の同値性を活用し、マトロイドのパス幅計算を基本グラフ上の線形ランク幅計算に還元する。
• 独立集合オракルを用いて、ブランチ幅≤2の二進マトロイドの基本グラフを構築し、その後主アルゴリズムを適用してその線形ランク幅を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離分離的グラフの線形ランク幅は、このクラスでパス幅がNP困難であるにもかかわらず、多項式時間で計算可能か？
• RQ2 距離分離的グラフの標準的スプリット分解は、その線形ランク幅を再帰的に特徴付けるのにどのように利用可能か？
• RQ3 スプリット分解におけるどの構造的要素が、線形ランク幅に関連する部分グラフや部分構造に対して意味的に対応するか？
• RQ4 距離分離的グラフに適用されたアルゴリズム枠組みは、より高いランク幅のグラフへと拡張可能か？
• RQ5 ブランチ幅が2以下のマトロイドのパス幅を計算する計算量的複雑度は何か？ そして、これは線形ランク幅計算に還元可能か？

主な発見

• すべてのn頂点からなる距離分離的グラフの線形ランク幅は、O(n² log² n)時間で計算可能である。
• 線形ランク幅を示す線形配置も、同じ時間計算量で計算可能である。
• 独立集合オラクルが与えられた場合、すべてのn要素からなるブランチ幅が2以下のマトロイドのパス幅は、O(n² log² n)時間で計算可能である。
• マトロイドのパス幅を示す線形配置も、同じ時間計算量で計算可能である。
• 本稿では、標準的スプリット分解における'肢'の概念を導入し、これは部分グラフの頂点マイナーに対応し、再帰的特徴付けを可能にする。
• 肢に基づく線形ランク幅の特徴付けは、部分分解における頂点関連でないノードの課題を克服する構造的フレームワークを提供する。