[論文レビュー] Linear Recognition of Almost Interval Graphs

Yixin Cao|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 36被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、頂点または辺を最大k個追加・削除することで得られる「ほぼ区間グラフ」として知られる3つのクラスのグラフを認識する線形時間アルゴリズムを提示する。これらは、証拠となる区間グラフの構築を含む認識と構築を両方実行する。主な貢献は、kに関する依存関係を改善した固定パrameter可 tractability（FPT）の確立であり、区間+keグラフの分野における長年の未解決問題を解決した。

ABSTRACT

Let $\mbox{interval} + k v$, $\mbox{interval} + k e$, and $\mbox{interval} - k e$ denote the classes of graphs that can be obtained from some interval graph by adding $k$ vertices, adding $k$ edges, and deleting $k$ edges, respectively. When $k$ is small, these graph classes are called almost interval graphs. They are well motivated from computational biology, where the data ought to be represented by an interval graph while we can only expect an almost interval graph for the best. For any fixed $k$, we give linear-time algorithms for recognizing all these classes, and in the case of membership, our algorithms provide also a specific interval graph as evidence. When $k$ is part of the input, these problems are also known as graph modification problems, all NP-complete. Our results imply that they are fixed-parameter tractable parameterized by $k$, thereby resolving the long-standing open problem on the parameterized complexity of recognizing $\mbox{interval}+ k e$, first asked by Bodlaender et al. [Bioinformatics, 11:49--57, 1995]. Moreover, our algorithms for recognizing $\mbox{interval}+ k v$ and $\mbox{interval}- k e$ run in times $O(6^k \cdot (n + m))$ and $O(8^k \cdot (n + m))$, (where $n$ and $m$ stand for the numbers of vertices and edges respectively in the input graph,) significantly improving the $O(k^{2k}\cdot n^3m)$-time algorithm of Heggernes et al. [STOC 2007] and the $O(10^k \cdot n^9)$-time algorithm of Cao and Marx [SODA 2014] respectively.

研究の動機と目的

• 生物学的データの誤りに起因する区間グラフに近いグラフの計算的認識課題に取り組むこと。
• Bodlaenderら（1995年）によって提起された、区間+keグラフの固定パrameter可 tractabilityに関する長年の未解決問題を解消すること。
• グラフサイズに最適な線形依存関係を有する、interval+kv、interval+ke、interval−keクラスの効率的認識アルゴリズムを開発すること。
• 認識の他に、所属が確認された場合に証拠となる区間グラフの構築も提供すること。

提案手法

• タッカー行列と連続1属性（C1P）違反を用いた、ほぼ区間グラフにおける禁止部分グラフの新しい構造的特徴付けの設計。
• 動的計画法とモジュラ分解技術を用いて、最小変更を効率的に探索すること。
• 区間グラフの性質と禁止部分グラフ検出に基づく枝刈りを施した有界な探索木アプローチの適用。
• 最小非区間グラフ部分グラフおよびタッカー部分行列を検出する線形時間アルゴリズムの活用。
• それぞれのほぼ区間グラフクラスに属する性質を保持するデータ削減ルールの統合。
• 頂点および辺の変更を扱いながらも線形時間複雑性を維持する、区間グラフ認識技術の拡張。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定kに対して、区間+keグラフを線形時間で認識できるか。Bodlaender ら（1995年）が提起した未解決問題を解消できるか。
• RQ2 ほぼ区間グラフの認識において、特にinterval+kvおよびinterval−keに対して、kに関する最適なパrameter依存関係は何か。
• RQ3 入力がこれらのクラスに属する場合に、認識に加え証拠となる区間グラフの構築も行える効率的アルゴリズムを設計できるか。
• RQ4 ほぼ区間グラフの構造的性質は、連続1属性（C1P）およびタッカー部分行列とどのように関係しているか。
• RQ5 これらの技術を、頂点および辺の変更を併用する混合変更やサンドイッチ問題に一般化できるか。

主な発見

• 本稿では、interval+kv、interval+ke、interval−keグラフの線形時間認識アルゴリズムを提示し、それぞれの実行時間はO(6^k·(n+m))およびO(8^k·(n+m))であり、従来の境界を著しく改善した。
• interval+kvに対しては、O(6^k·(n+m))の実行時間で動作し、Heggernes ら（2007年）のO(k^{2k}·n^3·m)アルゴリズムを改善した。
• interval−keに対しては、O(8^k·(n+m))の実行時間で動作し、Cao と Marx（2014年）のO(10^k·n^9)アルゴリズムを改善した。
• これらのアルゴリズムは、所属の判定に加え、同じ時間内に証拠となる区間グラフを生成でき、構成的証明を提供する。
• 区間+keグラフの固定パrameter可 tractabilityが確立され、パラメータ化計算複雑性分野における25年間の未解決問題が解決された。
• 本アプローチは他の遺伝的グラフクラスに一般化可能であり、今後のサンドイッチ問題やC1P変更問題の研究のためのフレームワークを提供する。