[論文レビュー] Linear Recurrence Sequences With Indices in Arithmetic Progression and Their Sums

Daniel Birmajer, Juan B. Gil+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2015

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、部分ベル多項式と元の係数のルーカス変換を用いて、等差数列の添え字をとる線形再帰列の部分列の明示的漸化式を導出する。さらに、このような列の部分和の閉形式式を提供し、フィボナッチ数、ルーカス数、トリボナッチ数などの列における等差数列上の和の効率的計算を可能にする。

ABSTRACT

For an arbitrary homogeneous linear recurrence sequence of order d with constant coefficients, we derive recurrence relations for all subsequences with indices in arithmetic progression. The coefficients of these recurrences are given explicitly in terms of partial Bell polynomials that depend on at most d-1 terms of the generalized Lucas sequence associated with the given recurrence. We also provide an elegant formula for the partial sums of such sequences and illustrate all of our results with examples of various orders, including common generalizations of the Fibonacci numbers.

研究の動機と目的

• 任意のd次の同次線形再帰列の部分列 (a_{mn+r}) の明示的漸化式を導出すること。
• これらの新しい漸化式の係数を部分ベル多項式および元の係数のルーカス変換を用いて特徴付けること。
• このような列の部分和の閉形式式を提供し、等差数列上での和の効率的計算を可能にすること。
• フィボナッチ数、ルーカス数、トリボナッチ数の既知の結果を、任意の線形再帰に適用可能な一様な枠組みに統合・一般化すること。

提案手法

• 係数 (c1,…,cd) のルーカス変換 (ân) を、階乗を含む部分ベル多項式を用いて定義する。
• 列 (ân) が (an) と同じ漸化式を満たし、ân = ∑αj^n と表せることを証明する。ここで αj は特性多項式の根である。
• ルーカス変換列の値 âm, â2m, ..., â( d-1)m を用いた部分ベル多項式で表される係数 γk を用いて、(a_{mn+r}) の漸化式を導出する。
• 母関数と逆変換を用いて、∑_{j=0}^n aj を a_{n+1}, ..., a_{n+d} およびルーカス変換により表す一般式を導出する。
• 漸化式と和の公式を組み合わせ、任意の m と r に対して ∑_{j=0}^n a_{mj+r} を効率的に計算する。
• フィボナッチ数、k-フィボナッチ数、ルーカス数、トリボナッチ数などの例を提示し、既知の恒等式と整合することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のd次の同次線形再帰列に対して、部分列 (a_{mn+r}) が満たす線形漸化式の係数を、閉形式でどのように表現できるか。
• RQ2 ルーカス変換が、等差数列の添え字をとる部分列の漸化式構造を特徴付ける役割を果たすのはどのような点か。
• RQ3 初期条件に依存しない、線形再帰列の部分和 ∑_{j=0}^n aj の一般閉形式式を導出できるか。
• RQ4 導出された部分列および部分和の公式は、一般化フィボナッチ数や一般化トリボナッチ数にどのように拡張できるか。
• RQ5 部分列 (a_{mn+r}) の漸化式を決定するために必要なルーカス変換の最小項数は何か。

主な発見

• 部分列 (a_{mn+r}) は、係数 γk が γk = ∑_{j=1}^k [(-1)^{j+1}/k!] B_{k,j}(0!âm, 1!â2m, ..., (k-j)!â(k-j+1)m) で明示的に与えられるd次の線形漸化式を満たす。ここで ân は (c1,…,cd) のルーカス変換である。
• 部分和 ∑_{j=0}^n a_j は、a_{n+1}, ..., a_{n+d} の線形結合として表され、ルーカス変換から得られる係数を用いて反復的和算なしに直接計算可能である。
• 2次再帰の場合、和 ∑_{j=0}^n a_{mj+r} は a_{m(n+2)+r}, a_{m(n+1)+r}, a_{mn+r}, a_r の有理関数として与えられ、係数は âm と c2^m に依存する。
• 3次再帰の場合、和 ∑_{j=0}^n a_{mj+r} は âm と â2m を用いて表され、3項と初期値に依存する補正項 I_{m,r} を含む式となる。
• 導出された公式は、既知のフィボナッチ数やトリボナッチ数の恒等式を回復する。例えば ∑_{j=0}^n t_j = (t_{n+2} + t_n - 1)/2 および ∑_{j=0}^n t_{2j} = (t_{2n+1} + t_{2n})/2 が確認され、一貫性が裏付けられる。
• 本手法では、(a_{mn+r}) の漸化式を決定するために、全列列生成よりも計算量を削減するため、 âm, â2m, ..., â( d-1)m のみを必要とする。