[論文レビュー] Linear representations of hereditarily non-sensitive dynamical systems

Eli Glasner, Michael Megrelishvili|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、Radon-Nikodým (RN) システム——双対バナッハ空間に線形的に表現可能で、Radon-Nikodým性質を有するもの——を導入し、距離化可能な系について、RN, 一貫して感度のない (HNS), 一貫してほとんど等連続 (HAE) の各クラスが一致することを確立する。主な貢献は、HNS システムを包み込み半群による特徴づけとして、サイズが連続体以下である分離可能なローゼンタールコンパクトとして与えることと、離散的可算群がそのような系において高々2対1の距離的因子をもつことを証明することにある。

ABSTRACT

Abstract. For an arbitrary topological group G any compact G-dynamical system (G, X) can be linearly G-represented as a weak ∗-compact subset of a dual Banach space V ∗. As was shown in [44] the Banach space V can be chosen to be reflexive iff the metric system (G, X) is weakly almost periodic (WAP). In this paper we study the wider class of compact G-systems which can be linearly represented as a weak ∗-compact subset of a dual Banach space with the Radon-Nikod´ym property. We call such a system a Radon-Nikod´ym system (RN). One of our main results is to show that for metrizable compact G-systems the three classes: RN, HNS (hereditarily not sensitive) and HAE (hereditarily almost equicontinuous) coincide. We investigate these classes and their relation to previously studied classes of G-systems such as WAP and LE (locally equicontinuous). We show that the Glasner-Weiss examples of recurrent-transitive locally equicontinuous but not weakly almost periodic cascades are actually RN. We also show that for symbolic systems the RN property is equivalent to having a countable phase space; and that any Z-dynamical system (f, X), where X is either the unit interval or the unit circle and f: X → X is a homeomorphism, is an RN system. Using fragmentability and Namioka’s theorem we give an enveloping semigroup characterization of HNS and show that the enveloping semigroup of a compact metrizable HNS system is a separable Rosenthal compact, hence of cardinality ≤ 2 ℵ0. Moreover, applying a theorem of Todor˘cević we show, for discrete countable acting groups, that it admits an at most two-to-one metric factor.

研究の動機と目的

• 双対バナッハ空間に Radon-Nikodým 性質を有する線形表現を許容するコンパクト G-動的系を特徴づけること。
• RN システムと、WAP や LE（局所等連続）といった既に研究済みのクラスとの関係を調査すること。
• Glasner-Weiss が提示した再帰的・転送的で局所等連続的だが WAP でないカスケードが RN システムであるかどうかを特定すること。
• 特に可算位相空間の場合に、記号的系が RN である条件を明確にすること。
• 包み込み半群と Namioka の定理を用いた HNS システムの位相的・関数解析的特徴づけを提供すること。

提案手法

• RN システムのため、Radon-Nikodým 性質を有するバナッハ空間 V を選び、任意のコンパクト G-系を V∗ に弱∗-コンパクトに埋め込むこと。
• 断片的可縮性と Namioka の定理を用いて、HNS システムの包み込み半群の構造を分析すること。
• Todorčević の定理を用いて、離散的可算群の作用に対する距離的因子化結果を導出すること。
• 位相的・関数解析的技法を用いて、距離化可能なコンパクト G-系において RN と HNS/HAE のクラスが同値であることを確立すること。
• 記号的系を分析する際、RN 性質と位相空間の濃度を関連させ、空間が可算であるとき同値であることを示すこと。
• ローゼンタールコンパクトの理論を用いて、HNS システムの包み込み半群のサイズを評価し、それが高々 2ℵ₀ であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての一貫して感度のない (HNS) システムは、Radon-Nikodým 性質を有する双対バナッハ空間への線形表現を許容する、すなわち RN システムであるか？
• RQ2 等連続性や感度といった位相的・動的性質を用いた RN システムの完全な分類は可能か？
• RQ3 再帰的・転送的で局所等連続的だが弱くほとんど周期的でない Glasner-Weiss のカスケード例は、RN システムの例であるか？
• RQ4 記号的系において、RN 性質は位相空間が可算であることと同値か？
• RQ5 距離化可能な HNS システムの包み込み半群の構造は何か？ また、そのサイズは有界にできるか？

主な発見

• 距離化可能なコンパクト G-系において、RN, HNS, HAE システムのクラスは同値である。
• 任意の距離化可能なコンパクト HNS システムの包み込み半群は、分離可能なローゼンタールコンパクトであるため、濃度が高々 2ℵ₀ である。
• 再帰的・転送的で局所等連続的だが WAP でない Glasner-Weiss のカスケード例が RN システムであることが示された。
• 記号的系において、RN 性質が成り立つのは、位相空間が可算であることと同値である。
• 位相空間が単位区間または単位円で、f がホメオモルフィズムであるような任意の Z-動的系 (f, X) は RN システムである。
• 離散的可算群が作用する系において、任意の HNS システムは高々2対1の距離的因子をもつことが、Todorčević の定理によって確立された。