[論文レビュー] Linear Response Theory: A Modern Analytic-Algebraic Approach

Giuseppe De Nittis, Max Lein|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非可換積分およびフォン・ノイマン代数の技法を用いて、量子系における線形応答理論（LRT）のきめ細やかで現代的な解析的代数的枠組みを提示する。一般の設定において、Kubo公式およびその断熱的極限を確立し、量子ホール効果の位相的解釈を可能にするとともに、標準的な周期的モデルを超えて、確率的および非周期的系へのLRTの拡張を実現する。

ABSTRACT

Linear response theory is a tool with which one can study systems that are driven out of equilibrium by external perturbations. This monograph presents a thoroughly modern framework to make linear response theory rigorous for a wide array of systems, that is suitable for novel applications such as periodic and random light conductors not yet covered in the literature. Our analytic-algebraic approach, based on von Neumann algebras and associated non-commutative $L^p$-spaces, can deal with discrete and continuous models alike, and include effects of disorder. First, we explain the mathematical setting, give a complete list of our hypotheses and state the main results, which include Kubo and Kubo-Streda formulas. To make our book accessible to a wide audience, we spend Chapters 3 and 4 explaining the mathematical underpinnings such as non-commutative $L^p$- and Sobolev spaces, and generalized commutators. Furthermore, we show how to construct a von Neumann algebras from a topological dynamical system and a 2-cocycle, a procedure which applies to discrete and continuous quantum systems. We dedicate Chapters 5 and 6 to the proofs of our main results. We close the book by sketching a novel application, linear response theory for periodic and random light conductors. This monograph is aimed at advanced students in mathematical physics and researchers.

研究の動機と目的

• ランダムおよび非周期的媒体を含む広範なクラスの量子系に適用可能な、線形応答理論の数学的に厳密な基礎を構築すること。
• 周期的または一様な設定を超えて、エルゴード的ダイナミクスを示す系における線形応答の取り扱いを統一すること。
• 一般のフォン・ノイマン代数設定において、Kubo公式およびその断熱的極限を正当化する枠組みを提供すること。
• 非周期的および不純物を含む系において、Kubo-Strěda公式を通じて量子ホール効果の位相的解釈を可能にすること。
• 有界でない作用素および非自明なスペクトル性質を示す系における、電導度および電流応答の概念を一般化すること。

提案手法

• 可観測量のフォン・ノイマン代数を、正規、半有限、忠実なトレース（トレース状態）を備えたものとして定式化する。
• エルゴード系における体積単位あたりのトレースを用いて、非可換Lp空間および可測作用素を導入する。
• 有界でない摂動および空間微分を扱うために、一般化された交換子および非可換ソボレフ空間を適用する。
• 等スペクトル変換およびT-適合導分を用いて、非可換勾配および正則性条件を定義する。
• 断熱的摂動下での時間発展演算子の均衡状態の比較を通じて、Kubo公式を導出する。
• 測度における収束およびスペクトル論を用いて断熱的極限を確立し、Kubo-Strěda公式に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形応答理論は、非周期的および確率的量子系においてどのように数学的に厳密に定式化できるか？
• RQ2 体積単位あたりのトレースは、電導度などの巨視的応答関数を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 不純物を含む系において、電導度テンソルの断熱的極限は、位相的不変量とどのように関係するか？
• RQ4 有界でない可観測量を含む一般のフォン・ノイマン代数設定において、Kubo公式はどのように導出可能か？
• RQ5 非周期的媒体における電流の線形応答とハミルトニアンのスペクトル性質との間には、どのような関係があるか？

主な発見

• 本稿は、直接積分分解および共変確率的作用素を用いた、エルゴード的ダイナミクスを示す系における線形応答の一般枠組みを確立する。
• 断熱的摂動におけるユニタリ伝搬作用素の存在を証明し、相互作用表示における可観測量の時間発展演算子を導出する。
• 非可換Lp空間および可測作用素の一般設定において、電導度のKubo公式を数学的に厳密に導出する。
• 電導度テンソルの断熱的極限がKubo-Strěda公式に収束することが示され、これは位相的絶縁体におけるチーン数と結びつく。
• ゼロ温度極限では、ホール電導度がスペクトル不変量として位相的に解釈可能であり、TKNN公式と整合的である。
• この枠組みは、連続的および離散的モデルの両方へ適用可能であり、ランダムポテンシャルを伴うシュレーディンガー作用素およびタイトバインディングハミルトニアンを含む。