[論文レビュー] Linear response theory for quantum open systems

Jianhua Wei, YiJing Yan|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、フェ Feynman の影響関数と階層的運動方程式（HEOM）を用いて、時間依存的駆動を伴わずに定常状態の動的観測量（スペクトル関数など）を直接計算できる、量子開放系の線形応答理論を構築する。主な貢献は、Kubo の線形応答理論を開放系に一般化する形式的枠組みを提供し、HEOM 空間におけるフラクチュアーション・ディスシペーション関係を用いてスペクトル関数を導出することにある。

ABSTRACT

Basing on the theory of Feynman's influence functional and its hierarchical equations of motion, we develop a linear response theory for quantum open systems. Our theory provides an effective way to calculate dynamical observables of a quantum open system at its steady-state, which can be applied to various fields of non-equilibrium condensed matter physics.

研究の動機と目的

• 時間並進不変性を持つ閉じた系に限らない、非平衡の量子開放系への線形応答理論の拡張を目的とする。
• 時間依存場を適用せずに、静的開放系の動的観測量（相関関数やスペクトルなど）を計算する課題を扱う。
• 非平衡凝縮系物理学、分子エレクトロニクス、ナノ物理学の分野における実用的枠組みを提供すること。
• 階層的運動方程式（HEOM）を介して、影響関数形式と開放系における線形応答の間の接続を確立すること。

提案手法

• Feynman の影響関数形式に基づき、縮約密度演算子（RDO）および補助的影響関数の階層的運動方程式（HEOM）を導出する。
• 影響関数の因数分解性 $ F = F_A \cdot F_B $ が $ \Phi = \Phi_A + \Phi_B $ を意味することを活用し、複数のプローブ場に対する線形応答を扱う。
• 時間発展演算子 $ \mathcal{G}_{\mathbf{j}}^{(n)}(t) $ を定義するためのリウヴィル空間における伝搬子形式を導入し、HEOM 空間におけるダイナミクスの解法を可能にする。
• 伝搬子 $ \hat{\boldsymbol{\mathcal{G}}}_s(t) $ を用いて、摂動下での系の時-order 発展演算を介して応答相関関数 $ \widetilde{C}_{AB}(t) $ を構築する。
• HEOM 空間におけるフラクチュアーション・ディスシペーション関係を用いてスペクトル関数 $ J_{AB}('\omega') $ を導出する：$ J_{AB}(\omega) = \frac{1}{2\pi}(1 + e^{-\beta\omega}) \langle\!\langle \boldsymbol{A}(0) | \hat{\boldsymbol{\mathcal{G}}}_s(\omega) \boldsymbol{B} | \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) \rangle\!\rangle $。
• すべての応答関数を計算するために必要な、平衡密度演算子 $ \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) $ を得るための定常状態条件 $ \hat{\boldsymbol{\varLambda}}_s \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) = 0 $ を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間並進不変性を有しない非平衡の量子開放系に対し、線形応答理論を一般化することは可能か？
• RQ2 時間依存場を適用せずに、静的開放系の動的観測量（スペクトル関数など）を直接計算する方法は何か？
• RQ3 影響関数の因数分解性が、複数のプローブ場への線形応答を可能にする役割は何か？
• RQ4 HEOM の文脈において、フラクチュアーション・ディスシペーション定理をどのように再定式化できるか？
• RQ5 リウヴィル空間における伝搬子 $ \hat{\boldsymbol{\mathcal{G}}}_s(\omega) $ とスペクトル関数 $ J_{AB}(\omega) $ の正確な関係は何か？

主な発見

• 本稿では、HEOM 形式を用いて、時間依存的駆動なしに定常状態の動的観測量を直接計算可能な、量子開放系の線形応答理論を確立した。
• スペクトル関数 $ J_{AB}(\omega) $ は $ J_{AB}(\omega) = \frac{1}{2\pi}(1 + e^{-\beta\omega}) \mathrm{Tr}[A^+ \sigma(\omega)] $ として導出され、ここで $ \sigma(\omega) $ は応答演算子のフーリエ変換である。
• HEOM 空間におけるフラクチュアーション・ディスシペーション関係が明示的に確認され、$ J_{AB}(\omega) = \frac{1}{\pi}(1 + e^{-\beta\omega}) C_{AB}(\omega) $ として、スペクトル関数と相関関数 $ C_{AB}(\omega) $ を結びつける。
• すべての応答関数を計算するために必要な平衡密度演算子 $ \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) $ は、$ \hat{\boldsymbol{\varLambda}}_s \boldsymbol{\rho}_{eq}(T) = 0 $ を解くことで得られる。
• 応答関数 $ \widetilde{C}_{AB}(t) $ を用いて、$ G_{AB}^r(t) = -i\theta(t)[\widetilde{C}_{AB}(t) + \widetilde{C}_{BA}(-t)] $ を介して、レティarded グリーン関数 $ G_{AB}^r(t) $ を計算可能であり、フェルミオン系に対しても有効である。
• 本手法は、HEOM フレームワークに裏打ちされているため、分子エレクトロニクス、ナノ物理学、多体系物理学を含む広範な非平衡量子系に適用可能である。