[論文レビュー] Linear, Second order and Unconditionally Energy stable schemes for The Viscous Cahn-Hilliard Equation with hyperbolic relaxation using the invariant energy quadratization method

Xiaofeng Yang, Jia Zhao|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 35被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形項を二次形式に再定式化することで、非線形項の効率的処理を可能にする不変エネルギー平方化（IEQ）法を用いて、双曲的緩和を伴う粘性Cahn-Hilliard方程式に対して、線形で2次精度かつ無条件エネルギー安定な時間積分スキームを2つ提案する。各時間ステップで対称正定値線形系を解くことで、エネルギー散逸構造を厳密に保持しつつ、2次元および3次元のシミュレーションにおいて第二階層の時間収束性と高い安定性を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we consider numerical approximations for the viscous Cahn-Hilliard equation with hyperbolic relaxation. This type of equations processes energy-dissipative structure. The main challenge in solving such a diffusive system numerically is how to develop high order temporal discretization for the hyperbolic and nonlinear terms, allowing large time-marching step, while preserving the energy stability, i.e. the energy dissipative structure at the time-discrete level. We resolve this issue by developing two second-order time-marching schemes using the recently developed "Invariant Energy Quadratization" approach where all nonlinear terms are discretized semi-explicitly. In each time step, one only needs to solve a symmetric positive definite (SPD) linear system. All the proposed schemes are rigorously proven to be unconditionally energy stable, and the second-order convergence in time has been verified by time step refinement tests numerically. Various 2D and 3D numerical simulations are presented to demonstrate the stability, accuracy and efficiency of the proposed schemes.

研究の動機と目的

• 粘性Cahn-Hilliard方程式に双曲的緩和を組み合わせた系に対して、高次精度で無条件エネルギー安定な時間積分スキームの開発を目的とする。この方程式は、放物型および双曲型のダイナミクスを併せ持つ。
• とくに二重井戸ポテンシャルおよび慣性項を含む強い非線形性と剛性を有する項の数値的安定化を、時間方向の2次精度を維持しながら克服することを目的とする。
• 非線形項の解法を回避するため、IEQアプローチを活用して非線形性を線形化しつつエネルギー安定性を損なわない、計算的に効率的なスキームの設計を目的とする。
• 複雑な非線形自由エネルギー密度を有する勾配流れ問題、特に相場モデルに対して、証明可能に安定で、2次精度であり、容易に実装可能な手法を提供することを目的とする。
• 従来の手法が2次精度、無条件安定性、または線形構造を欠いていたVCH-HRモデルにまで、エネルギー安定スキームの適用範囲を拡張することを目的とする。

提案手法

• 非線形で下界を持つ自由エネルギー項を、不変エネルギー平方化（IEQ）法を用いて二次形式に再定式化し、非線形項の半明示的取り扱いを可能にする。
• 得られた半離散系を完全に時間方向に線形化し、対称正定値（SPD）線形系を構築する。この系は、Krylov部分空間法および質量畳み込みプリコンディショナを用いて効率的に解ける。
• IEQフレームワークを用いて、2つの2次精度時間積分スキームを構築し、時間離散化レベルでの離散的エネルギー散逸を保証することで、無条件エネルギー安定性を達成する。
• 粘性減衰項および双曲的緩和項をともに陰的に取り扱い、通常の陽的スキームで生じる時間ステップ制限を回避する。
• 対数的およびFlory-Huggins自由エネルギー密度の両方を扱えるように拡張し、相場モデルへの広範な適用可能性を示す。
• 変分形式により、ガレルキン型の空間離散化と整合性を保ち、有限要素法やスペクトル法への容易な拡張を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強い非線形性および慣性項を有する双曲的緩和付き粘性Cahn-Hilliard方程式に対して、2次精度で無条件エネルギー安定なスキームを構築できるか？
• RQ2 IEQ法を用いて、複雑で下界を持つ非線形ポテンシャルをエネルギー安定性を損なわず線形化された二次形式に変換できるか？
• RQ3 非線形方程式の反復解法を回避しつつ、時間方向に2次精度を維持する線形で無条件安定なスキームを設計できるか？
• RQ4 2次元および3次元のスピンオード分離問題において、提案スキームのエネルギー散逸および長期的ダイナミクスはどのように振る舞うか？
• RQ5 本手法は、複雑な非線形自由エネルギー密度を有する他の勾配流れ問題へ一般化可能か？

主な発見

• 提案スキームは無条件エネルギー安定であり、時間ステップサイズに依存せず、各時間ステップで離散エネルギーが単調に減少する。
• 時間ステップの細分化による数値的収束性テストにより、2次時間収束性が確認され、スキームの精度が裏付けられる。
• 各時間ステップで対称正定値線形系の解法のみを必要とし、質量畳み込みプリコンディショナを用いたKrylov部分空間ソルバーにより効率的に解ける。
• 2次元および3次元の数値的シミュレーションにより、スキームの安定性と精度が実証され、層状および円柱状の構造を示す正しい相分離ダイナミクスが再現される。
• Flory-Hugginsポテンシャルでは、初期濃度に応じて最終的な平衡状態の形態が異なり、ノ・フラックス境界条件では球状構造、周期的境界条件では層状構造が形成される。
• ノ・フラックス条件下での最終状態エネルギーは周期的境界条件下よりも低く、境界条件が平衡形態に及ぼす影響が示される。