[論文レビュー] Linear-Size Hopsets with Small Hopbound, and Distributed Routing with Low Memory

Becker, Ruben, Karrenbauer, Andreas+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、任意の ε > 0 に対して β = O((log log n / ε)^{log log n}) となる、大幅に削減されたホップバウンドを達成する線形サイズのホップセットの新規構成を提示する。この手法は、分散および PRAM モデルにおける階層的クラスタリングとポインタジャンプ技術を用い、多対数時間の構築時間と O(n^{1/k}) の頂点あたりメモリ使用量および O(k) のストレッチを実現する近似的最適ルーティングを可能にする。

ABSTRACT

For a positive parameter $β$, the $β$-bounded distance between a pair of vertices $u,v$ in a weighted undirected graph $G = (V,E,ω)$ is the length of the shortest $u-v$ path in $G$ with at most $β$ edges, aka {\em hops}. For $β$ as above and $ε>0$, a {\em $(β,ε)$-hopset} of $G = (V,E,ω)$ is a graph $G' =(V,H,ω_H)$ on the same vertex set, such that all distances in $G$ are $(1+ε)$-approximated by $β$-bounded distances in $G\cup G'$. Hopsets are a fundamental graph-theoretic and graph-algorithmic construct, and they are widely used for distance-related problems in a variety of computational settings. Currently existing constructions of hopsets produce hopsets either with $Ω(n \log n)$ edges, or with a hopbound $n^{Ω(1)}$. In this paper we devise a construction of {\em linear-size} hopsets with hopbound $(\log n)^{\log^{(3)}n+O(1)}$. This improves the previous bound almost exponentially. We also devise efficient implementations of our construction in PRAM and distributed settings. The only existing PRAM algorithm \cite{EN16} for computing hopsets with a constant (i.e., independent of $n$) hopbound requires $n^{Ω(1)}$ time. We devise a PRAM algorithm with polylogarithmic running time for computing hopsets with a constant hopbound, i.e., our running time is exponentially better than the previous one. Moreover, these hopsets are also significantly sparser than their counterparts from \cite{EN16}. We use our hopsets to devise a distributed routing scheme that exhibits near-optimal tradeoff between individual memory requirement $ ilde{O}(n^{1/k})$ of vertices throughout preprocessing and routing phases of the algorithm, and stretch $O(k)$, along with a near-optimal construction time $\approx D + n^{1/2 + 1/k}$, where $D$ is the hop-diameter of the input graph.

研究の動機と目的

• サイズ O(n^{1+1/κ}) の (β, ε)-ホップセットを、サブ多項式的ホップバウンド β で構築すること。
• 定数ホップバウンドを持つホップセットの構築において、PRAM モデルで多対数時間の実行時間を達成すること。
• 頂点あたり O(n^{1/k}) のメモリ使用量と O(k) のストレッチを備えた分散ルーティングスキームを設計すること。
• 特に線形サイズホップセットにおいて、ホップセットサイズとホップバウンドのトレードオフを克服すること。
• 分散構築時間におけるアスペクト比 Λ に依存しない、完全に組合せ的な実行時間を達成すること。

提案手法

• ホップバウンドを低減するために、仮想ツリーとヘビーライト分解を用いた階層的クラスタリングを構築する。
• 分散環境におけるポインタジャンプ技術を用い、O(log n) ラウンドで部分木のサイズとラベルを伝搬する。
• 再帰的クラスタリングアプローチを用いて、β = O((log κ / ε)^{log κ + O(1)}) となる (β, ε)-ホップセットを構築し、κ = log n のとき線形サイズを達成する。
• PRAM モデルで、多対数時間 O((log n / ε)^{log κ + 1/ρ + O(1)}) および O(|E| · n^ρ) のワークトークで構築を実装する。
• ホップセットを応用し、頂点あたり O(log n) のラベルサイズと O(1) のルーティングテーブルサイズを持つコンパクトなルーティングスキームを設計する。
• CONGEST モデルにおいて、分散ポインタジャンプを用いて、˜O(√n + D) ラウンドでラベルと部分木のサイズを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形サイズホップセットを、n に対してサブ多項式的ホップバウンドで構築可能か？ これにより、先行研究の nΩ(1) バウンドを改善できるか？
• RQ2 定数ホップバウンドを持つホップセットを、多対数時間の PRAM 時間で構築可能か？ これにより、先行アルゴリズムの nΩ(1) 時間を克服できるか？
• RQ3 頂点あたり O(n^{1/k}) のメモリ使用量と O(k) のストレッチを備えた分散ルーティングスキームを設計可能か？ また、近似的最適な構築時間を維持できるか？
• RQ4 分散モデルにおける構築時間のアスペクト比 Λ に依存しないようにできるか？
• RQ5 ホップセットサイズを O(n) にまで削減しつつ、サブ多項式的ホップバウンドを維持できるか？

主な発見

• サイズ O(n^{1+1/κ})、ホップバウンド β = O((log log n / ε)^{log log n + O(1)}) となる (β, ε)-ホップセットを構築し、線形サイズホップセットの既存の O(n^{4+α}) ホップバウンドを改善した。
• 定数ホップバウンドホップセットの構築において、PRAM モデルで多対数時間 O((log n / ε)^{log κ + 1/ρ + O(1)}) を達成し、[EN16a] の nΩ(1) 時間に対して指数的改善を達成した。
• CONGEST モデルにおいて、ラベルサイズ O(log n)、ルーティングテーブルサイズ O(1)、頂点あたり O(n^{1/k}) のメモリ使用量で、O(k) のストレッチを達成する分散ルーティングスキームを開発した。
• CONGEST モデルにおける構築時間を ˜O(√n + D) ラウンドに短縮し、アスペクト比 Λ に依存しない。
• 1つの木においてルーティングラベルとテーブルの計算に ˜O(√n + D) の実行時間を達成し、頂点あたり O(log n) の内部メモリ使用量を維持した。
• 複数の木をサポートするようにスキームを拡張し、頂点あたり最大 s 本の木を許容する場合、O(s · log n) のメモリ使用量で ˜O(√s · n + D) の時間で処理を完了した。