[論文レビュー] Linear space of spinor monomials and realization of the Nambu-Goldstone fermion in the Volkov-Akulov and Komargodski-Seiberg Lagrangians

A. A. Zheltukhin|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2010

Atomic and Subatomic Physics Research参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、4次元N=1超対称性におけるナムブ・ゴールドストーンフェルミオンを記述するボルコフ＝アコロフとコマルゴドスキー＝ザイバーグのラグランジアンの等価性を証明する一貫性のある解析的アルゴリズムを提示する。スカラー制約 ∂ᵐψ̄Δₘ = 0（全微分を除く）を満たす合成スピノル単項式 Δₘ の線形空間を導入することで、Weylスピノル計算による既知の結果をメジャナラ双スピノルとフェルツ再配置を用いて再現し、NGフェルミオン作用の普遍性を確認するとともに、二つの実現法の背後にあるより深い代数的構造を明らかにする。

ABSTRACT

The analytical algorithm previously proposed by the author for matching the Volkov-Akulov (VA) and Komargodski-Seiberg (KS) actions describing the Nambu-Goldstone (NG) fermion, is discussed. The essence of the algotithm is explained, its consistency is proved and the recent results obtained with computer assistance are reproduced, when the proper Fierz rearrangements for Majorana bispinors are taken into account. We reveal a linear space of composite spinorial monomials $Δ_{m}$ which are the solutions of the scalar constraint $(\partial^{m}\barψΔ_{m})=0$. This space is used to clarify relations between the KS and VA realizations of the NG fermionic field $ψ$.

研究の動機と目的

• ナムブ・ゴールドストーンフェルミオンを記述するボルコフ＝アコロフとコマルゴドスキー＝ザイバーグのラグランジアンの等価性を、コンピュータ支援のWeylスピノル計算に依存せずに解析的に証明するための一貫性のある解析的枠組みを確立すること。
• 4次元N=1理論における超対称性の線形実現と非線形実現を結ぶ代数的および幾何的構造を明確にすること。
• Weylスピノル形式で得られた最近のコンピュータ支援結果を、より幾何的に透明なメジャナラ双スピノル表現を用いて再現すること。
• ラグランジアン間の場の再定義を支える、スカラー制約 ∂ᵐψ̄Δₘ = 0 を満たす合成スピノル単項式 Δₘ の線形空間を特定・特徴づけること。

提案手法

• 本手法は、ボルコフ＝アコロフのフェルミオン ψ を基に、コマルゴドスキー＝ザイバーグのフェルミオン g を ψ のべき級数で展開する：g = ψ + aχ + a²χ₂ + a³χ₃。
• アルゴリズムは、二つのラグランジアンにおける結合定数 a の同一順序の項を一致させることで、bispinors χ, χ₂, χ₃ に関する3つの結合非線形方程式に等価性問題を還元する。
• 解法は、アルゴリズムの式の因数分解性と、メジャナラ双スピノルのフェルツ再配置を用いたスピンルータインデックスの縮約処理に依存する。
• 重要な要素として、場の再定義の整合性を保証する、スカラー制約 ∂ᵐψ̄Δₘ = 0（全微分を除く）を満たす合成スピノル単項式 Δₘ の線形空間 Δₘ の特定が挙げられる。
• 単項式 Δₘ は ψ 及びその微分の積から構成され、Lorentzベクトル構造は γₘ によって生成され、これらが線形空間 Δ⁽¹⁾ を形成することが示される。
• 本手法は、射影条件 (ηₘₙ + 1/3Σₘₙ)Δ̃ⁿ = 0 の唯一の解が Δ̃ₘ = 0 であることを示すことで整合性を証明し、アーンザツにおける係数を固定し、χ の一意な表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンピュータ支援のWeylスピノル計算に依存せずに、ボルコフ＝アコロフとコマルゴドスキー＝ザイバーグのラグランジアンの等価性をどのように解析的に証明できるか？
• RQ2 ナムブ・ゴールドストーンフェルミオン実現の文脈において、スカラー制約 ∂ᵐψ̄Δₘ = 0 を満たす合成スピノル単項式 Δₘ の代数的構造は何か？
• RQ3 なぜWeylスピノル形式は場の再定義の幾何的起源を曇らせるのか？また、メジャナラ双スピノル形式はそれをどのように明らかにするか？
• RQ4 メジャナラ表現におけるフェルツ再配置は、二つのラグランジアンを一致させる際の整合性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 単項式 Δₘ の線形空間は体系的に構成可能であり、KSとVAフェルミオン間の完全な場の再定義を導出するために使用可能か？

主な発見

• 射影条件 (ηₘₙ + 1/3Σₘₙ)Δ̃ⁿ = 0 の唯一の解が Δ̃ₘ = 0 であることを示すことにより、解析的アルゴリズムの整合性が証明され、場の再定義における係数が固定される。
• bispinor χ は明示的に χ = i/16 γₙ[ψ(ψ̄,ⁿψ) + γ⁵ψ(ψ̄,ⁿγ⁵ψ)] と求められ、Weylスピノル手法によるコンピュータ支援結果と一致する。
• 合成スピノル単項式 Δₘ の線形空間 Δ⁽¹⁾ は、Δₘ = i/16 [ν¹ₘ - 1/4 ν²ₘ - 1/2 ν³ₘ] として明示的に構成され、ここで νᵢₘ は ψ 及びその微分に関する特定の単項式である。
• メジャナラ双スピノル形式におけるフェルツ再配置の使用により、Weyl 2スピノル表現で得られた以前の結果が正確に再現された。
• 場の再定義 g = ψ + aχ + a²χ₂ + a³χ₃ が完全に再構成され、χ₂ および χ₃ はラグランジアンの高次項の整合性を保つことで一意に決定される。
• 単項式 Δₘ は全微分を除く形でスカラー制約 ∂ᵐψ̄Δₘ = 0 を満たし、これが場の再定義手続きの整合性にとって不可欠である。