[論文レビュー] Linear-Space Substring Range Counting over Polylogarithmic Alphabets

Travis Gagie, Paweł Gawrychowski|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2012

Algorithms and Data Compression参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、多項式対数的アルファベットを持つ文字列における部分文字列範囲カウントのための線形空間データ構造を提示する。u = n·polylog(n) のとき、最適な O(m) クエリ時間に到達し、従来の O(n log n / log log n) の空間境界を改善する。接尾辞木、先行者データ構造、および部分和構造を活用して、ラベル付き位置区間内でのパターン出現回数を効率的にカウントし、位置制限付き部分文字列カウントおよび関連問題における最適な境界を実現する。

ABSTRACT

Bille and Gørtz (2011) recently introduced the problem of substring range counting, for which we are asked to store compactly a string $S$ of $n$ characters with integer labels in ([0, u]), such that later, given an interval ([a, b]) and a pattern $P$ of length $m$, we can quickly count the occurrences of $P$ whose first characters' labels are in ([a, b]). They showed how to store $S$ in $\Oh{n \log n / \log \log n}$ space and answer queries in $\Oh{m + \log \log u}$ time. We show that, if $S$ is over an alphabet of size (\polylog (n)), then we can achieve optimal linear space. Moreover, if (u = n \polylog (n)), then we can also reduce the time to $\Oh{m}$. Our results give linear space and time bounds for position-restricted substring counting and the counting versions of indexing substrings with intervals, indexing substrings with gaps and aligned pattern matching.

研究の動機と目的

• 従来の部分文字列範囲カウント解法が O(n log n / log log n) の空間を要するという空間的・時間的非効率性を解消する。
• 標準的仮定下で最適であるとされる線形空間（O(n)）を、多項式対数的アルファベット上での文字列に実現する。
• ラベル宇宙サイズ u が n·polylog(n) のとき、クエリ時間を O(m) に短縮し、パターン長と一致させる。
• 区間、ギャップ、およびアラインドパターンマッチングを伴う部分文字列インデキシングのバリエーションに対しても、解法を拡張する。
• 最適な空間・時間計算量を達成する実用的で効率的なフレームワークを提供する。

提案手法

• 文字列 S に整数ラベルをもつ文字（[0, u] 内）を用いて接尾辞木を構築する。
• 各内部ノードにおいて、そのノードが表す部分文字列の出現の直後に続く文字のラベル列を格納する。
• 先行者データ構造（定理 3.2）を用いて、ラベル区間におけるランクおよびセレクトクエリを O(1) または O(log log u) 時間で回答する。
• 各ノードのラベル列における [a,b] 範囲のラベル数を計算するために部分和データ構造を維持する。
• パターン P のローカスまで接尾辞木を下りる際、各レベルで有効な出現の区間を維持する。
• 各ノードでランククエリを用いて、現在の部分文字列における [a,b] 内のラベルの区間を計算し、次レベルに区間サイズを伝搬する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アルファベットサイズが n に関して多項式対数的である場合、部分文字列範囲カウントを線形空間で解けるか？
• RQ2 u = n·polylog(n) のとき、部分文字列範囲カウントのクエリ時間を O(m) に到達させることは可能か？
• RQ3 線形空間解法を、位置制限付き部分文字列カウントや区間・ギャップ付きインデキシングといった他の問題に拡張可能か？
• RQ4 u が n·polylog(n) より大きい場合の空間・時間トレードオフは何か？ また、近似的に最適なパフォーマンスを達成できるか？
• RQ5 u が制限なしの場合に、線形空間と線形クエリ時間の両方を達成することは可能か？ それともこれは根本的に制限されているのか？

主な発見

• 多項式対数的アルファベット上での文字列に対して、提案されたデータ構造は O(n) の空間のみを用い、最適な線形空間計算量を達成する。
• u = n·polylog(n) のとき、クエリ時間が O(m) に短縮され、パターン長と一致する最適な時間であり、従来の O(m + log log u) の境界を改善する。
• 最初の文字のラベルが [a,b] 内にある任意のパターン P の出現回数を、接尾辞木内での区間伝搬を効率的に行いカウント可能である。
• この手法により、位置制限付き部分文字列カウント、区間・ギャップ付き部分文字列インデキシングのバリエーション、およびアラインドパターンマッチングにおいて最適な境界が達成される。
• 接尾辞木、先行者データ構造、および部分和構造の組み合わせにより、ランククエリあたり O(1) または O(log log u) 時間を維持できる。
• 位置マッピングのための追加 O(n) 空間を用いることで、接尾辞木を上りながらセレクトクエリを用いて O(m) 時間で例示的な出現位置を返すことも可能である。