[論文レビュー] Linear stability analysis for 2D shear flows near Couette in the isentropic Compressible Euler equations

Paolo Antonelli, Michele Dolce+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 63被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、圧縮性および非圧縮性成分を別々に分析することで、コアン・シェア・フローに近い2次元断熱圧縮性エーラー流の線形安定性を確立する。圧縮性成分に対して時間に比例して超線形に成長するのを証明し、非圧縮性成分に対しては遅いレートの無粘性ダンピングを示す。標準的な保存則が純粋なコアン・ケースに存在しない状況において、渦度と密度の関数的関係を用いる。

ABSTRACT

In this paper, we investigate linear stability properties of the 2D isentropic compressible Euler equations linearized around a shear flow given by a monotone profile, close to the Couette flow, with constant density, in the domain $\mathbb{T} imes \mathbb{R}$. We begin by directly investigating the Couette shear flow, where we characterize the linear growth of the compressible part of the fluid while proving time decay for the incompressible part (inviscid damping with slower rates). Then we extend the analysis to monotone shear flows near Couette, where we are able to give an upper bound, superlinear in time, for the compressible part of the fluid. The incompressible part enjoys an inviscid damping property, analogous to the Couette case. In the pure Couette case, we exploit the presence of an additional conservation law (which connects the vorticity and the density on the moving frame) in order to reduce the number of degrees of freedom of the system. The result then follows by using weighted energy estimates. In the general case, unfortunately, this conservation law no longer holds. Therefore we define a suitable weighted energy functional for the whole system, which can be used to estimate the irrotational component of the velocity but does not provide sharp bounds on the solenoidal component. However, even in the absence of the aforementioned additional conservation law, we are still able to show the existence of a functional relation which allows us to recover somehow the vorticity from the density, on the moving frame. By combining the weighted energy estimates with the functional relation we also recover the inviscid damping for the solenoidal component of the velocity.

研究の動機と目的

• コアン・フローに近い単調なシェア・フローの周囲における2次元断熱圧縮性エーラー方程式の線形安定性を分析すること。
• このようなシェア・フローの周囲での線形化において、圧縮性および非圧縮性成分の挙動を理解すること。
• 一般のシェア・フローにおいて渦度と密度の保存則が欠如している状況を克服するため、関数的関係を構築すること。
• 圧縮性成分に対して時間に比例して超線形に成長する境界を得る重み付きエネルギー推定を確立すること。
• 純粋なコアン・ケースで知られている結果を、一般の速度プロファイルを持つ近接する単調なシェア・フローへと拡張すること。

提案手法

• コアンに近い単調なシェア・フローの周囲で断熱圧縮性エーラー方程式を線形化し、定常密度および速度プロファイル $ U(y) = y + b(y) $ をとる。ここで $ b $ は小さい。
• 速度を非渦度的（イロターショナル）およびソリノイダル（スケルラル）成分に分解し、圧縮性（イロターショナル）および非圧縮性（ソリノイダル）成分を別々に分析する。
• 時間依存重みを用いた重み付きエネルギー推定を用い、特に渦度-密度保存則が存在しない状況での圧縮性成分の成長を制御する。
• 全系のダイナミクスを捉える新しい重み付きエネルギー関数を定義し、非渦度的速度成分の制御を可能にする。
• 移動座標系における渦度と密度の関数的関係を定義し、保存則の欠如にもかかわらず、ソリノイダル成分の制御を回復する。
• ネウマン級数展開と作用素ノルム推定を用い、線形化系に現れるリゾルベント作用素、特に $ \Delta_t^{-1} $ や関連作用素を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コアン・フローに近い2次元圧縮性エーラー方程式の線形化において、圧縮性成分の長期的挙動はいかなるものか？
• RQ2 一般のシェア・フローにおいて渦度-密度保存則が欠如している場合、純粋なコアン・ケースと比較して安定性解析にどのような影響を与えるか？
• RQ3 標準的な保存則が欠如しているにもかかわらず、コアンに近いシェア・フローにおける非圧縮性（ソリノイダル）成分に対して無粘性ダンピングを確立できるか？
• RQ4 一般のシェア・フローにおいて、ソリノイダル成分の制御を回復できる移動座標系における渦度と密度の関数的関係は何か？
• RQ5 重み付きエネルギー推定を非コアン・シェア・フローに適応させ、圧縮性成分に対して時間に比例して超線形に成長する境界を得られるか？

主な発見

• コアンに近いシェア・フローにおける圧縮性成分は、任意の $ \epsilon > 0 $ に対して $ O(t^{1+\epsilon}) $ で抑えられる時間に比例して超線形に成長する。
• 非圧縮性（ソリノイダル）成分は、標準的な保存則が存在しないため、コアンの場合より遅い減衰レートを示す無粘性ダンピングを示す。
• 移動座標系における渦度と密度の関数的関係が導出され、保存則の欠如にもかかわらず、ソリノイダル成分の制御が可能になる。
• 重み付きエネルギー推定が全系に成功裏に適用され、非渦度的速度成分の制御が可能となり、ソリノイダル成分の無粘性ダンピングの回復が可能になる。
• 新規のエネルギー関数とリゾルベント作用素のネウマン級数展開を用いることで、古典的なコアン安定性結果が、より広い単調なシェア・フローのクラスへと拡張される。
• 証明は作用素ノルム推定と重み付き $ L^2 $ 界の両方に依存し、$ \|B\Phi_b f\|_{H^s} \leq \frac{1}{1 - C\epsilon} \|Bf\|_{H^s} $ が成り立ち、小さな摂動のもとで安定性が保証される。