[論文レビュー] Linear structures on locales

Pedro Resende, João Paulo Santos|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スペクトルベクターバンドルと線形化されたロケールを定義することで、位相空間とロケールの古典的随伴を線形化した拡張を導入し、スペクトルベクターバンドルと線形化されたロケールの間の随伴を確立する。これは、ハッセ的かつ空間的の場合に同値に制限される。また、開補題位相を導入し、一般の位相ベクトル空間に対して普遍的スペクトルベクターバンドルが存在しないことを示す。

ABSTRACT

We define a notion of morphism for quotient vector bundles that yields both a category $ extit{QVBun}$ and a contravariant global sections functor $C: extit{QVBun}^{ extrm{op}} o extit{Vect}$ whose restriction to trivial vector bundles with fiber $F$ coincides with the contravariant functor $ extit{Top}^{ extrm{op}} o extit{Vect}$ of $F$-valued continuous functions. Based on this we obtain a linear extension of the adjunction between the categories of topological spaces and locales: (i) a linearized topological space is a spectral vector bundle, by which is meant a mildly restricted type of quotient vector bundle; (ii) a linearized locale is a locale $ riangle$ equipped with both a topological vector space $A$ and a $ riangle$-valued support map for the elements of $A$ satisfying a continuity condition relative to the spectrum of $ riangle$ and the lower Vietoris topology on $\operatorname{Sub} A$; (iii) we obtain an adjunction between the full subcategory of spectral vector bundles $ extit{QVBun}_Σ$ and the category of linearized locales $ extit{LinLoc}$, which restricts to an equivalence of categories between sober spectral vector bundles and spatial linearized locales. The spectral vector bundles are classified by a finer topology on $\operatorname{Sub} A$, called the open support topology, but there is no notion of universal spectral vector bundle for an arbitrary topological vector space $A$.

研究の動機と目的

• ベクターバンドルを用いて、位相空間とロケールの間の古典的随伴を線形設定に拡張すること。
• 局所的に自明なベクターバンドルを一般化し、連続切断をサポートするスペクトルベクターバンドルの圏を定義すること。
• 位相的ベクトル空間と連続補題写像を備えたロケールとしての線形化されたロケールを導入し、随伴条件を満たすこと。
• スペクトルベクターバンドルと線形化されたロケールの間の随伴を確立し、ハッセ的および空間的ケースにおいて同値性を示すこと。
• 普遍的スペクトルベクターバンドルの存在を調査し、一般の位相ベクトル空間に対してその非存在を示すこと。

提案手法

• 自明なバンドルからの開写像を介して商ベクターバンドルを定義し、評価写像によって十分な切断を保証する。
• 位相的ベクトル空間 A のスペクトルを、下位バイタリス位相を備えた Sub(A) として定義する。
• 補題写像 σ: Sub(A) → Ω(X) および γ: Ω(X) → Sub(A) を構成し、これらが随伴をなすことを示す。
• σ が γ に対して左随伴であり、γ が素スペクトルに制限されたときに連続であるような三重組 (△, A, σ, γ) を線形化されたロケールとして定義する。
• Sub(A) に開補題位相を導入し、これによりスペクトルベクターバンドルの分類を、下位バイタリス位相よりも洗練させる。
• スペクトル核写像が連続であるのは、有限次元性やハッセ性などの特定の条件下でのみであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクターバンドルを用いて、位相空間とロケールの間の随伴を線形化できるか？
• RQ2 商ベクターバンドルがスペクトル的（すなわち、その核写像が連続）であるための条件は何か？
• RQ3 任意の位相ベクトル空間に対して普遍的スペクトルベクターバンドルが存在するか？
• RQ4 開補題位相は、商ベクターバンドルの分類をどのように洗練させるか？
• RQ5 線形化されたロケールのスペクトルが空間的またはハッセ的であるための条件は何か？

主な発見

• スペクトルベクターバンドルの圏 QVBunΣ と線形化されたロケールの圏 LinLoc の間には随伴が存在し、ハッセ的スペクトルベクターバンドルと空間的線形化ロケールのケースでは同値に制限される。
• Sub(A) に導入された開補題位相は、下位バイタリス位相よりもスペクトルベクターバンドルの分類を洗練させている。
• 無限次元でハウスドルフな A に対して、普遍バンドル U∘A は開補題性質を満たすが、そのスペクトル核は連続でないため、スペクトル的ではない。
• dim A < ∞ のとき、バンドル U∘A はハッセ的であり、したがってスペクトル的である（スペクトル核が連続であるため）。
• 第一可算な A に対して dim A > 2 のとき、U∘A のゼロ切断は閉でないため、閉ゼロ切断がフェル連続性を意味するとは限らない。
• Max∘A の素開集合は、dim A < ∞ のときのみ sob(V) の形に限られる。それ以外の場合は、sob(V) の形でない非ハッセ化素開集合が存在し、例えば U_{0,A} = ∅ はその例である。