[論文レビュー] Linear systems with persistent memory: An overview of the biblography on controllability

Luciano Pandolfi|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 72被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、記憶核 $ N(t) $ と $ C_0 $-半群の生成作用素 $ A $ を含む積分微分方程式で記述される、持続的記憶を有する線形系の可制御性結果について包括的なレビューを提供する。主な貢献は、移動する制御を用いた場合の可制御性特性——特に近似可制御性およびゼロ可制御性——の分析であり、制御領域が適切に空間を移動する場合、ゼロへの可制御性および静止状態への可制御性が達成可能であることを示している。特に指数的記憶核に対して顕著である。

ABSTRACT

We discuss the bibliography on control problems for systems with persistent memory

研究の動機と目的

• 持続的記憶を有する線形系の可制御性に関する既存の文献を体系的に調査・整理すること。特に、記憶核を有する積分微分方程式に従う系を対象とする。
• 記憶を有する系がゼロ可制御性および静止状態への可制御性を達成できるかどうかを検討すること。特に、制御領域が空間的に移動する場合に注目する。
• 因果性および正則性制約による正確可制御性の限界を明確にすること。特に熱方程式との比較を通じて。
• 移動制御が、記憶系におけるゼロへの可制御性の欠如を克服する役割を果たす仕組みを検討すること。特に (CG) および (GP) システムのようなモデルに対して。
• ゼロ可制御性が静止状態への可制御性を示す条件を確立すること。特に指数的減衰記憶核に対して。

提案手法

• 本稿の分析は、半群理論を用いた状態空間形式に基づく。元の微分方程式を、全歴史を状態の一部として含む無限次元形式に再定式化する。
• 系は、記憶核 $ N(t) $ が $ k \geq 1 $ に対して $ C^k $ であると仮定し、$ \alpha = 0 $ の場合に $ N(0) > 0 $ であると仮定する。この系は、第二種ボルテッラ積分方程式としてモデル化される。
• 解の表現には半群および積分作用素が用いられ、特に $ w(t) = \int_0^t N(t-s) \int_0^s N'(s-r) w(r) \, dr \, ds $ という公式を用いて正則性および可制御性を分析する。
• 可制御性は、時間に依存する領域 $ \omega(t) \subseteq \Omega $ における移動制御領域を用いて研究される。制御は、領域の時間的変化に伴う部分集合にのみ作用する。
• 本稿では、(CG)モデル（熱型）と (GP)モデル（波動型）を区別する。それぞれの目的状態は異なり、(GP)では変位と速度、(CG)では温度とフラックスを想定する。
• 本稿は、[44, 47, 48, 49] の反例に依拠し、記憶を有する系が熱方程式からゼロ可制御性を継承するという仮説を否定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 持続的記憶を有する系は、制御領域が空間的に移動する領域に作用する場合に、ゼロ可制御性を達成できるか？
• RQ2 記憶を有する系において、ゼロ可制御性が静止状態への可制御性を示すか。特に指数的核に対しては？
• RQ3 記憶を有する系ではなぜ正確可制御性が不可能なのか。熱方程式と比較するとどうなるか？
• RQ4 記憶核 $ N(t) $ および制御領域 $ \omega(t) $ にどのような条件を課すと、解が時間 $ T $ 後に恒等的にゼロとなるか？
• RQ5 無限次元の歴史を含む状態空間形式は、正確可制御性の可能性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• ゼロ可制御性は、熱方程式から記憶系に継承されない。[44, 47, 48, 49] の反例により、$ w(T) = 0 $ かつ $ \int_0^T N(T-s)w(s)\,ds = 0 $ であっても、$ t > T $ で解が恒等的にゼロにならないことが否定された。
• 指数的記憶核 $ N(t) = e^{-\beta t} $ の場合、ゼロ可制御性が静止状態への可制御性を示す。記憶構造のおかげで、$ T $ 後も解がゼロのままである。
• 制御領域 $ \omega(t) $ が領域 $ \Omega $ 全体をカバーするように移動する場合、(GP)モデルにおいて、状態 $ (w(T), w'(T), \int_0^T N(T-s)\nabla w(s)\,ds) $ のゼロ可制御性が達成される。
• 同様の移動制御条件のもとで、(CG)モデルにおいても、$ (w(T), \int_0^T N(T-s)\nabla w(s)\,ds) $ のゼロ可制御性が達成される。
• 解 $ w(t) $ は、熱方程式の解と同程度の正則性を有する。すなわち、平方可積分ではあるが、連続的であるとは限らない。このため、正確可制御性は不可能である。
• 境界制御を用いることで、任意の $ T > 0 $ に対して $ L^2(\Omega) $ における近似可制御性は達成可能である。正確可制御性は、正則性の欠如のため失敗するが、近似可制御性は成立する。