[論文レビュー] Linear Transports along Paths in Vector Bundles. I. General Theory

Bozhidar Z. Iliev|ArXiv.org|Nov 1, 2004

advanced mathematical theories参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、実ベクトル bundle における経路に沿った線形輸送の一般的公理的枠組みを導入し、それらが局所的にユークリッド的であることを証明している—つまり、輸送行列が恒等行列となる基底が存在する。主な貢献は、このような輸送が経路に沿った微分作用素と同値であり、線形接続に類似した局所係数で記述可能であることを示したことである。特に、輸送が経路に沿って通常の微分に簡略化される特別な基底では、係数が消える。

ABSTRACT

The (parallel) linear transports along paths in vector bundles are axiomatically described. Their general form and certain properties are found. It is shown that these transports are locally (i.e. along every fixed path) always Euclidean ones in a senses that there exist frames in which their matrices are unit. The investigated transports along paths are described in terms of their local coefficients, as well as in terms of derivations along paths.

研究の動機と目的

• 実ベクトル bundle における経路に沿った線形輸送を、合成と単位元を保存するファイバー間の線形同型写像として形式的に定義し、特徴づけること。
• 固定されたベクトル空間への線形同型写像の族を用いて、このような輸送の一般的不変形式および成分形式を確立すること。
• 任意の固定された経路に沿った線形輸送が局所的にユークリッド的であることを証明すること—すなわち、輸送行列が恒等行列となる基底が存在することを示すこと。
• このような輸送の局所係数記述と経路に沿った微分作用素としての定式化との同値性を示すこと。
• 今後の曲率、ねじれ、物理的応用に関する研究の基盤を築くこと。

提案手法

• L-輸送を、各経路 γ に対して、γ(s) と γ(t) のファイバー間の線形同型写像 L^γ_{s→t} を割り当てる写像として定義する。これは線形性、合成、単位元の公理を満たす。
• このような輸送が、各ファイバーから固定されたベクトル空間 V への同型写像 F^γ_s の族に同値であることを証明する。L^γ_{s→t} = (F^γ_t)^{-1} ∘ F^γ_s が成り立つ。
• 局所座標を用いて係数関数 Γ^i_{.jα}(x) を用いて輸送を表現する。これらは基底の変更に関して一般化された接続則（式 5.2）に従って変換される。
• 輸送と経路に沿った微分作用素 D^γ の同値性を確立する。特別な基底では D^γσ = dσ^i/ds · e_i と表される。
• 輸送行列が恒等行列となる基底では、係数 Γ^i_{.jα} が恒等的に消え、D^γσ が成分関数の通常の微分に簡略化されることを示す。
• 変換則 (5.2) が線形接続係数の標準的変換則を一般化しており、bundle が接束である場合にはそれらに還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 経路に沿ってファイバー間の写像族が、ベクトル bundle における線形輸送として成立するための必要十分条件は何か？
• RQ2 任意の経路に沿った線形輸送は、常にその経路に沿ってある基底でユークリッド的輸送（恒等行列）として局所的に表現可能か？
• RQ3 線形輸送の局所係数関数は、経路および bundle の幾何にどのように関係しているか？
• RQ4 線形輸送とベクトル bundle における経路に沿った微分作用素との正確な関係は何か？
• RQ5 このような輸送の局所係数は、経路に沿った局所基底の変更に関してどのように変換されるか？

主な発見

• 固定された経路に沿ったベクトル bundle における任意の線形輸送は、局所的にユークリッド的である。すなわち、輸送行列が恒等行列となる局所的基底が、その経路に沿って存在する。
• このような特別な基底では、輸送係数が恒等的に消え、Γ^i_{.jα}(x) = 0 となる。それに伴う微分作用素 D^γ は、成分関数の通常の微分に一致する。
• 輸送に付随する微分作用素 D^γ は、輸送が線形接続から生じる場合、標準的共変微分 ∇_γ˙ と一致する。
• 基底変更における輸送係数の変換則（式 5.2）は、線形接続係数の標準的変換則を一般化している。
• 輸送は、その局所係数によって完全に決定され、それらの変換則は経路の基点 γ(s) のみに依存する。
• ベクトル bundle の直和およびテンソル積は、それに対応する輸送に誘導され、その行列は元の輸送行列の直和およびテンソル積で与えられる。