[論文レビュー] Linear Transports along Paths in Vector Bundles. II. Some Applications

Bozhidar Z. Iliev|ArXiv.org|Dec 1, 2004

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、微分可能多様体上のテンソル bundle における経路に沿った任意の線形平行移動を用いて、平行移動を置き換えることで測地線理論を一般化する。L-経路（その接ベクトルがその経路に沿った線形移動に関して不変であるような曲線）を導入し、特殊なホノモニック基底においてそれらがパラメータに関して線形であることを証明する。線形接続による平行移動の場合、これは標準的な測地線に還元される。

ABSTRACT

The linear transports along paths in vector bundles introduced in Ref. [1] are applied to the special case of tensor bundles over a given differentiable manifold. Links with the transports along paths generated by derivations of tensor algebras are investigated. A possible generalization of the theory of geodesics is proposed when the parallel transport generated by a linear connection is replaced with an arbitrary linear transport along paths in the tangent bundle.

研究の動機と目的

• ベクトル bundle における経路に沿った平行移動を任意の線形移動に置き換えることにより、測地線の概念を拡張すること。
• 経路に沿った線形移動とテンソル代数の微分の関係を調査すること。
• 線形移動に沿って不変な接ベクトルを持つ曲線、すなわち L-経路を定義し、それらを研究すること。
• 線形移動の行列が恒等行列となるホノモニック基底の存在を探索し、移動方程式の簡略化を図ること。
• 線形接続の文脈において、線形移動の特別な基底と接続係数が経路に沿って消えることの関係を確立すること。

提案手法

• ベクトル bundle における経路に沿った線形移動の一般的形式を用い、ファイバー間の滑らかな線形同型写像の族によって定義する。
• ${\cal D}^\gamma$ と呼ばれる経路に沿った導来作用素を用い、移動の無限小生成子を係数 $\Gamma^i_{.j}(s;\gamma)$ を通じて特徴付ける。
• L-経路を方程式 ${\cal D}^\gamma(\dot\gamma) = 0$ の解として導入し、測地線方程式を一般化する。
• 移動行列が恒等行列となる局所基底を用い、移動方程式を $\frac{d\dot\gamma^i(s)}{ds} = 0$ に簡略化する。
• 行列表現 $H(t,s;\gamma) = F(t;\gamma)^{-1}F(s;\gamma)$ を用いて移動の進化を記述し、係数行列 $\Gamma^i_{.j}(s;\gamma)$ との関係を導出する。
• 結果 [1] および [5] を適用し、線形移動の特別な基底が、経路に沿って接続係数が消える基底と一致することを示す。特に平行移動の場合にその関係が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接 bundle における経路に沿った平行移動を任意の線形移動に置き換えた場合、測地線理論はどのように一般化できるか？
• RQ2 与えられた基底において、線形移動の行列が恒等行列になるための条件は何か？ その構造的意味は何か？
• RQ3 経路に沿った線形移動とテンソル代数の微分の関係は何か？ そして誘導された微分 ${\cal D}^\gamma$ の役割は何か？
• RQ4 ホノモニック座標系において、L-経路（線形移動に関して不変な曲線）がパラメータに関して線形になるための条件は何か？
• RQ5 接 bundle における線形移動の特別な基底は、経路に沿って接続係数が消える基底と一致するか？

主な発見

• L-経路は ${\cal D}^\gamma(\dot\gamma) = 0$ を満たす曲線として定義され、移動が平行移動である場合、これは標準的な測地線方程式を一般化する。
• 移動に適した特別なホノモニック基底において、L-経路の運動方程式は $\frac{d\dot\gamma^i(s)}{ds} = 0$ に簡略化され、$\gamma^i(s)$ が $s$ に関して線形であることが示される。
• L-経路方程式の一般解は $\gamma^i(s) = X^i(s - s_0) + x^i$ で与えられ、これは特別な基底において L-経路がアフィンパラメータ化された直線であることを示している。
• 移動の係数 $\Gamma^i_{.j}(s;\gamma)$ は、行列 $H(t,s;\gamma)$ の微分と関係しており、$\Gamma_\gamma(s) = \frac{\partial H}{\partial t}\big|_{t=s} = F^{-1}(s;\gamma)\frac{dF(s;\gamma)}{ds}$ で与えられる。
• 線形接続の場合、関連する平行移動の特別な基底は、経路に沿って接続係数が消える基底と一致し、一対一対応が確立される。
• 線形移動が線形接続によって誘導される平行移動である場合、L-経路の理論は標準的な測地線に還元され、古典的微分幾何学と整合することが確認される。