[論文レビュー] Linear Turan numbers of r-uniform linear cycles and related Ramsey numbers

Clayton Collier-Cartaino, Nathan Graber+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 24被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、$r$-一様線形サイクルの線形ターラン数に対してタイトな上界を確立し、$\ell = 2m$ および $\ell = 2m+1$ の場合に $\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell) = O(n^{1+1/m})$ を示しており、Kostochka, Mubayi, and Verstra€te が提起した疑問を解決している。さらに、$r$-一様サイクル-完全グラフラムゼー数について新たな上界を導出し、$R(C^r_{2m}, K^r_t) \leq a_{m,r}(t/\ln t)^{m/(m-1)}$ および $R(C^r_{2m+1}, K^r_t) \leq b_{m,r}t^{m/(m-1)}$ を示しており、古典的結果をハイパーグラフへと拡張している。

ABSTRACT

An $r$-uniform hypergraph is called an $r$-graph. A hypergraph is linear if every two edges intersect in at most one vertex. Given a linear $r$-graph $H$ and a positive integer $n$, the linear Turán number $ex_L(n,H)$ is the maximum number of edges in a linear $r$-graph $G$ that does not contain $H$ as a subgraph. For each $\ell\geq 3$, let $C^r_\ell$ denote the $r$-uniform linear cycle of length $\ell$, which is an $r$-graph with edges $e_1,\ldots, e_\ell$ such that $\forall i\in [\ell-1]$, $|e_i\cap e_{i+1}|=1$, $|e_\ell\cap e_1|=1$ and $e_i\cap e_j=\emptyset$ for all other pairs $\{i,j\}, i eq j$. For all $r\geq 3$ and $\ell\geq 3$, we show that there exist positive constants $c_{m,r}$ and $c'_{m,r}$, depending only $m$ and $r$, such that $ex_L(n,C^r_{2m})\leq c_{m,r} n^{1+\frac{1}{m}}$ and $ex_L(n,C^r_{2m+1})\leq c'_{m,r} n^{1+\frac{1}{m}}$. This answers a question of Kostochka, Mubayi, and Verstraëte. For even cycles, our result extends the result of Bondy and Simonovits on the Turán numbers of even cycles to linear hypergraphs. Using our results on linear Turán numbers we also obtain bounds on the cycle-complete hypergraph Ramsey numbers. We show that there are positive constants $a_{m,r}$ and $b_{m,r}$, depending only on $m$ and $r$, such that $R(C^r_{2m}, K^r_t)\leq a_{m,r} (\frac{t}{\ln t})^\frac{m}{m-1}$ and $R(C^r_{2m+1}, K^r_t)\leq b_{m,r} t^\frac{m}{m-1}$.

研究の動機と目的

• $r$-一様線形サイクルの長さ $\ell$ に対する線形ターラン数 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell)$ の漸近的成長を特定すること。
• Kostochka, Mubayi, and Verstra€te が提起した、$\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m})$ および $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m+1})$ のオーダーの大きさに関する疑問を解決すること。
• グラフにおける偶数サイクルターラン数に関する Bondy-Simonovits の境界を、線形 $r$-一様ハイパーグラフの設定へと拡張すること。
• $r$-一様サイクル-完全グラフラムゼー数 $R(C^r_\ell, K^r_t)$ の新たな上界を導出し、既知のグラフ結果を一般化すること。

提案手法

• 頂点の次数に基づくレベル集合 $S_k$ によるハイパーグラフの段階的分解を用い、スパarsな部分構造を分離してエッジ密度を制御する。
• 逐次的に大きな独立集合 $S'$ をレベル集合から選択し、その近傍を削除することで線形性を維持するグリーディー独立集合アルゴリズムを適用する。
• 度数制約と $r$-一様線形性条件を用いて、選択された独立集合の近傍サイズを評価し、1つの独立集合あたり削除される頂点数が $O(n^{1/m})$ であることを保証する。
• 逐次的独立集合構成と確率的サンプリングの組み合わせにより、独立数の下界を導出し、ラムゼー数の境界に繋げる。
• ステインャー系や一般化されたシドン集合に関する既知の極値結果を活用し、$\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell)$ の構成的下界を確立する。
• 雙重数え上げと確率的削除法を適用し、線形 $\ell$-サイクルを含まないが高密度な $r$-グラフの存在を示し、漸近的境界を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $r$-一様線形サイクルの偶数長 $2m$ に対する線形ターラン数 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m})$ の漸近的成長率は何か？
• RQ2 グラフにおける偶数サイクルターラン数に関する Bondy-Simonovits の境界は、$r$-一様線形ハイパーグラフの設定へと拡張可能か？
• RQ3 $r$-一様サイクル-完全グラフラムゼー数 $R(C^r_\ell, K^r_t)$ のタイトな上界は何か？
• RQ4 すべての $r \geq 3$ および $m \geq 2$ に対して、定数 $c_{r,m}$ が存在して $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m}) \leq c_{r,m} n^{1+1/m}$ が成り立つか？
• RQ5 一般化されたシドン集合のような構成的技法を用いて、$\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell)$ の下界を改善できるか？

主な発見

• すべての $r \geq 3$ および $\ell \geq 3$ に対して、ある定数 $c_{m,r}$ が存在し、$\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m}) \leq c_{m,r} n^{1+1/m}$ が成り立つ。
• 同様に、$\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m+1}) \leq c'_{m,r} n^{1+1/m}$ が成り立ち、奇数サイクルに対しても同じ漸近的成長が得られる。
• $\mathrm{ex}_L(n, C^r_{2m}) = O(n^{1+1/m})$ の境界は、グラフから $r$-一様線形ハイパーグラフへと Bondy-Simonovits の結果を拡張している。
• サイクル-完全グラフラムゼー数は、ある定数 $a_{m,r}$ を用いて $R(C^r_{2m}, K^r_t) \leq a_{m,r} (t/\ln t)^{m/(m-1)}$ を満たす。
• 奇数サイクルの場合、$R(C^r_{2m+1}, K^r_t) \leq b_{m,r} t^{m/(m-1)}$ が成り立ち、既知のグラフケースと構造が一致する。
• 確率的線形 $r$-グラフの部分グラフを用いて、構成的下界 $\mathrm{ex}_L(n, C^r_\ell) > c''_{r,\ell} n^{1+1/(\ell-1)}$ が確立された。