[論文レビュー] Linear Weingarten surfaces in Euclidean and hyperbolic space

Rafael López|ArXiv.org|Jun 17, 2009

Mathematics and Applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ユークリッド空間および双曲的3次元空間における線形ウェインゲルテン表面を分類し、特に循環的・回転的・放物型の表面に注目する。非回転的循環的線形ウェインゲルテン表面がℝ³に存在する場合、それはRiemann例（H=0）または一般化された円錐（K=0）に限られ、それ以外の例は存在しない。また、Δ<0の双曲的線形ウェインゲルテン関係を満たすℝ³における完全で非埋め込み、周期的な回転表面の族を構成した。さらに、ℍ³における完全で放物型の表面がaH + bK = cを満たすことも示した。

ABSTRACT

In this paper we review some author's results about Weingarten surfaces in Euclidean space $ ^3$ and hyperbolic space $\h^3$. We stress here in the search of examples of linear Weingarten surfaces that satisfy a certain geometric property. First, we consider Weingarten surfaces in $ ^3$ that are foliated by circles, proving that the surface is rotational, a Riemann example or a generalized cone. Next we classify rotational surfaces in $ ^3$ of hyperbolic type showing that there exist surfaces that are complete. Finally, we study linear Weingarten surfaces in $\h^3$ that are invariant by a group of parabolic isometries, obtaining its classification.

研究の動機と目的

• 回転対称性や円による繰り返しの構造といった幾何的対称性の制約の下で、ℝ³およびℍ³における線形ウェインゲルテン表面を分類すること。
• 定常平均曲率表面に関する既知の結果を拡張し、非回転的循環的表面が線形ウェインゲルテン関係を満たす可能性を検証すること。
• 特に双曲的および放物型のタイプにおいて、ℝ³およびℍ³における完全な線形ウェインゲルテン表面の構成と特徴付けを行うこと。
• ユークリッド的および双曲的3次元空間において、aH + bK = cを満たす完全な表面の存在および幾何的性質を確立すること。

提案手法

• 主曲率および曲率関係の微分幾何学的手法を用いて、ℝ³における円による繰り返し構造を持つ表面（循環的表面）を分析する。
• 回転表面および放物型表面の場合は、断面曲線に関する常微分方程式に問題を還元する。
• 最大原理および漸近的解析を用いて、無限遠における挙動および完全性を検討する。
• 対称性とODE技法を組み合わせ、ℝ³およびℍ³におけるウェインゲルテン方程式aH + bK = cの解を分類する。
• 判別式Δ = a² + 4bcに基づく曲率分類により、楕円型・放物型・双曲型のタイプを区別する。
• ロピタルの定理および極限解析を用いて、解における特異点を解消し、完全な表面の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ³における非回転的循環的表面で、aκ₁ + bκ₂ = c または aH + bK = c を満たすもの是否存在するか？
• RQ2 Δ < 0（双曲的線形ウェインゲルテン関係）の下で、ℝ³における完全で非埋め込み、周期的な回転表面が存在するか？
• RQ3 定数a, b, cに対して、ℍ³における完全で放物型の表面がaH + bK = cを満たすか？
• RQ4 回転的線形ウェインゲルテン表面の断面曲線が示す幾何的性質は何か？
• RQ5 判別式Δ = a² + 4bcの符号が、線形ウェインゲルテン表面の完全性およびトポロジーにどのように影響するか？

主な発見

• ℝ³における非回転的循環的線形ウェインゲルテン表面は、Riemann例（H = 0）または一般化された円錐（K = 0）に限られ、それ以外の例は存在しない。
• Δ < 0のとき、ℝ³において完全で非埋め込み、周期的な双曲的回転的線形ウェインゲルテン表面の族が存在する。これは、定数負曲率に対するヒルベルトの定理と矛盾しない。
• ℍ³において、aH + bK = cを満たす完全で放物型の表面が存在し、対称空間における回転表面に関する既知の結果を拡張した。
• a+2b<0のとき、断面曲線のODEの解は有限な端点s= s̄で到達し、z(s̄)=0およびθ(s̄)がa cos θ₁ - b sin²θ₁ -1 = 0を満たす。
• a+2b>0のとき、断面曲線α(s)はθ(s₀)=πとなるs₀に関して対称であり、水平移動に関して不変である。
• すべての場合において、断面曲線は上に凸なz(s)を持つ垂直グラフであり、lim_{s→s̄} θ′(s) = ±∞を満たし、境界で特異な挙動を示す。