[論文レビュー] Linearizability and fake Lax pair for a consistent around the cube nonlinear non-autonomous quad-graph equation

Giorgio Gubbiotti, Christian Scimiterna+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ボルの四角格子方程式分類に属する ${}_{t}H_{1}^{\rho}$ 方程式を検討し、自己同型部分差分方程式への還元による線形化可能性を示し、そのラクス対が『偽物』であることを明らかにした—つまり、スペクトルパラメータおよび場変数に依存しないスペクトル問題とゲージ同値である。この方程式は、離散的および連続的変数の任意関数に依存する非自己同型一般化対称性を有しており、線形化およびバクンダ変換を通じた可積分性を反映している。

ABSTRACT

We discuss the linearization of a non-autonomous nonlinear partial difference equation belonging to the Boll classification of quad-graph equations consistent around the cube. We show that its Lax pair is fake. We present its generalized symmetries which turn out to be non-autonomous and depending on an arbitrary function of the dependent variables defined in two lattice points. These generalized symmetries are differential difference equations which, in some case, admit peculiar Bäcklund transformations.

研究の動機と目的

• ボルの四角格子方程式分類に属する非自己同型非線形偏差分方程式の線形化可能性を分析すること。
• そのラクス対の性質を調査し、ゲージ変換のもとで『偽物』であることを示すこと。
• 2つの格子点における場変数の任意関数に依存する、非自己同型の一般化対称性を導出すること。
• この線形可能系の文脈においてバクンダ変換の果たす役割を検討すること。
• ボル分類に属する他の線形可能方程式を分析する基盤を築くこと。

提案手法

• 変数変換により方程式を自己同型偏差分方程式系に還元し、明示的な解法と線形化を可能にした。
• ラクス対にゲージ変換を適用し、スペクトル問題がスペクトルパラメータおよび場変数に依存しなくなることを示し、ラクス対が『偽物』であることを確認した。
• 一般化対称性を、2つの格子点における場変数および連続変数の任意関数に依存する微分差分方程式として構成した。
• 特定のケースに対してバクンダ変換を導出し、場変数の差を含む非線形関係を通じて解がどのように関連づけられるかを示した。
• 格子添え字におけるパrametric依存性の有無に応じた場合分けを実施し、特に $\mathcal{F}^{(+)}_n$ および $\mathcal{F}^{(-)}_n$ が非ゼロである場合の処理を重点的に検討した。
• $m$-方向および $n$-方向の両方で系を解析し、非自己同型項を扱うために $\varepsilon = 0$ および $\varepsilon \neq 0$ の場合を別々に取り扱った。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${}_{t}H_{1}^{\rho}$ 方程式は、自己同型偏差分方程式系に還元できる線形化変換を有するか？
• RQ2 この方程式のラクス対がなぜ『偽物』とされるのか、そしてその可積分構造にどのような含意があるのか？
• RQ3 一般化対称性は任意関数および格子添え字にどのように依存するか？ これにより可積分性にどのような示唆が得られるか？
• RQ4 バクンダ変換は一般化対称性方程式の解をどのように結びつけるか？
• RQ5 この方程式の非自己同型構造は、線形化可能性や対称性といった可積分性の特徴を保ちながら体系的に取り扱えるか？

主な発見

• ${}_{t}H_{1}^{\rho}$ 方程式は、自己同型偏差分方程式系に還元できる変換を経て線形化可能であり、その系は明示的に解ける。
• この方程式のラクス対は『偽物』である—ゲージ変換の後、スペクトル問題はスペクトルパラメータおよび場変数に依存しなくなる。
• 一般化対称性は、2つの格子点における場変数および連続変数の任意関数に依存する非自己同型微分差分方程式である。
• 特定のパrameter選択の下で、一般化対称性は場変数の差を含む非線形関係を通じて解を結ぶバクンダ変換を有する。
• $\mathcal{F}^{(+)}_n$ および $\mathcal{F}^{(-)}_n$ が非ゼロである場合、格子添え字に非自明な依存性を示し、これを解消するために偶数または奇数添え字への変換が必要となる。
• $\varepsilon = 0$ の場合、一般化対称性は1つの非自己同型微分差分方程式に簡略化され、それに応じたバクンダ変換が存在する。