[論文レビュー] Linearizability of flows by embeddings

Matthew D. Kvalheim, Philip Arathoon|ArXiv.org|May 29, 2023

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ひとこと要約

本稿は、連続時間力学系が有限次元ユークリッド空間への滑らかまたは位相的埋め込みによってグローバルに線形化可能であるための必要十分条件を確立する。滑らかな埋め込みによる線形化が可能となるのは、流れがコンパクトな不変多様体上での滑らかなトーラス作用の1パラメータ部分群である場合に限る。一方、連続的埋め込みの場合は、有限個の軌道型をもつコンパクトな不変集合へ拡張され、データ駆動型Koopman作用素法に根本的な位相的および対称性的制約が生じることが明らかになる。

ABSTRACT

We consider the problem of determining the class of continuous-time dynamical systems that can be globally linearized in the sense of admitting an embedding into a linear system on a higher-dimensional Euclidean space. We solve this problem for dynamical systems on connected state spaces that are either compact or contain at least one nonempty compact attractor, obtaining necessary and sufficient conditions for the existence of linearizing $C^k$ embeddings for $k\in \mathbb{N}_{\geq 0}\cup \{\infty\}$. Corollaries include (i) several checkable necessary conditions for global linearizability and (ii) extensions of the Hartman-Grobman and Floquet normal form theorems beyond the classical settings. Our results open new perspectives on linearizability by establishing relationships to symmetry, topology, and invariant manifold theory.

研究の動機と目的

• 連続時間力学系が有限次元ユークリッド空間への埋め込みによってグローバルに線形化可能となる条件を同定すること。
• アトラクタの吸引域やコンパクトな不変集合の文脈において、線形化可能性に対する位相的および対称性に基づく障害を特定すること。
• 有限次元線形化埋め込みの存在を仮定するデータ駆動型Koopman作用素法の理論的限界を明確化すること。
• コンパクト多様体上に孤立した平衡点をもつ場合の線形化可能性に関する文献における曖昧さを解消すること。
• 機械学習ベースのKoopman法が力学系に応用可能かどうかを評価するための厳密な理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 微分位相幾何学およびリー群論を用いて、R^n 上の線形流れへ滑らかな埋め込みを許す流れを特徴づける。
• ジョルダン標準形定理を応用して線形流れの漸近的挙動を分析し、吸引域にかかる位相的制約を導出する。
• リャプノフ型関数を用いたパーティション・オブ・ユニティ構成により、局所線形化写像を滑らかに貼り合わせてグローバルな滑らかな埋め込みを構成する。
• 合成写像 F = (F₁∘P, F₀) を用いた適切性（properness）の議論を導入し、埋め込みの単射性と適切性を保証する。
• 陰関数定理と流れの不変性を用いて、前向きの力学を用いてグローバル埋め込みの単射性を証明する。
• グローバルアトラクタとリトラクション写像の存在に依拠し、状態空間を安定領域と一時的領域に分解して埋め込みの構成を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな不変多様体 X 上の滑らかな力学系が、R^n への滑らかな線形化埋め込みをもつための条件は何か？
• RQ2 コンパクトな不変集合上に定義された連続的流れが、位相的埋め込みによって線形化可能となる条件は何か？ その際、どのような位相的または対称性的制約が生じるか？
• RQ3 特に、吸引域が多様体全体でない場合に、吸引域上での流れの線形化可能性に必要な十分条件は何か？
• RQ4 孤立した平衡点は滑らかな線形化可能性にどのように影響を及ぼすか？ また、どのような次元的または位相的制限が生じるか？
• RQ5 本稿の理論的結果は、有限次元線形化埋め込みの存在を仮定するデータ駆動型Koopman作用素法の適用範囲に、どの程度制限を及えるか？

主な発見

• コンパクトな不変多様体 X 上の滑らかな流れは、X 上の滑らかなトーラス作用の1パラメータ部分群である場合に限り、滑らかな埋め込みによる線形化が可能である。
• X が奇数次元であり、かつ少なくとも1つの孤立した平衡点をもつ場合、滑らかな線形化埋め込みは存在しない。
• 2次元の X で、すべての平衡点が孤立している場合、滑らかな埋め込みによる線形化が可能となるのは、X が2次元トーラス、2次元球面、クラインのびん、または実射影平面に微分同相である場合に限る。
• 連続的場合、コンパクトな不変集合上での流れが、有限個の軌道型をもつ連続的トーラス作用の1パラメータ部分群である場合に限り、位相的埋め込みによる線形化が可能である。
• F∘Φ^t = exp(Bt)∘F を満たす、R^n への適切で単射かつ局所微分同相写像 F: X → R^n の存在は、滑らかなアトラクタ盆地の場合の線形化可能性にとって必要かつ十分である。
• これらの条件を満たさない系では、滑らかさ、連続性、単射性を緩和しない限り、このような埋め込みは存在しえないため、データ駆動型Koopman法に根本的な制限が生じる。