[論文レビュー] Linearization and exponential stability

Hans Zwart|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2014

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非線形無限次元系の線形化の指数的安定性が元の系の局所的指数的安定性を示すために十分な条件を確立する。非線形項が平衡点でゼロのフレシェ微分を持つことと、線形部に特定の作用素条件が満たされている場合、局所的指数的安定性が成立することを証明する。ゲートックス微分可能性だけでは不十分であることが、有限逃げ出し時間を持つ反例によって示されている。

ABSTRACT

We give sufficient conditions such that the exponential stability of the linearization of a non-linear system implies that the non-linear system is (locally) exponentially stable. One of these conditions is that the non-linear system is Fréchet differential at the equilibrium, if it is only Gateaux differentiable, then we show by means of an example that the result does not hold.

研究の動機と目的

• 非線形無限次元系について、線形化の指数的安定性が局所的指数的安定性をもたらす十分条件を特定すること。
• ヒルベルト空間における非線形系の安定性解析において、フレシェ微分とゲートックス微分の役割を明確にすること。
• 線形化が指数的に安定であっても、ゲートックス微分可能性のみでは安定性を保証できないことを、反例により示すこと。
• 有界で自己随伴的かつ可逆な作用素を用いたリャプノフ関数に基づく証明フレームワークを提供し、局所的指数的安定性を確立すること。

提案手法

• リャプノフ関数 $ V(x) = \langle x, P_2 x \rangle $ を用いる。ここで $ P_2 = 2P + \frac{1}{\omega}Q $ であり、$ P $ は作用素 $ A $ が生成する指数的安定な半群から得られる。
• 自己随伴的かつ有界に可逆な作用素 $ Q $ を含む条件 (2) を課し、$ \langle x, QAx \rangle + \langle Ax, Qx \rangle \leq \omega \|x\|^2 $ を保証する。
• リャプノフ微分を適用して $ \dot{V}(x) \leq -\|x\|^2 + 2\|P_2\|\|x\|\|f(x)\| $ を示し、$ f $ が 0 でフレシェ微分がゼロであることを利用する。
• ノルムの同値性を $ P_2 $ を用いて示し、$ V(x) \leq \delta $ のとき $ \dot{V}(x) \leq -\frac{1}{2M_1}V(x) $ を得ることで、局所的指数的安定性を確立する。
• $ \ell^2(\mathbb{N}) $ における反例を構築し、$ f(x)_n = 3\sqrt[n]{|x_n|}x_n $ とすることで、ゲートックス微分可能性だけでは不十分であることを示す。
• 初期状態がゼロに限りなく近い場合でも有限逃げ出し時間と不安定性を示し、線形化が指数的に安定であっても系全体が不安定であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形無限次元系において、線形化の指数的安定性が局所的指数的安定性をもたらす条件は何か？
• RQ2 線形化が指数的に安定である場合、非線形項のゲートックス微分可能性のみで安定性が保証されるか？
• RQ3 線形化が指数的に安定であっても、非線形項がゲートックス微分可能である場合に、平衡点で不安定になることはあり得るか？
• RQ4 リャプノフ法による安定性保証において、フレシェ微分条件が果たす役割は何か？
• RQ5 有界で自己随伴的かつ可逆な作用素を用いて、どのようにリャプノフ関数を構築し、局所的指数的安定性を証明できるか？

主な発見

• 非線形項が原点でゼロのフレシェ微分を持ち、条件 (2) が満たされていれば、線形化の指数的安定性から非線形系の局所的指数的安定性が導かれる。
• 反例により、ゲートックス微分可能性とゼロ微分では不十分であることが示され、線形化が指数的に安定であっても系が不安定になることがある。
• 反例としての系は、ゼロに近い初期条件に対して有限逃げ出し時間を持つため、強い不安定性を示す。
• 非線形項 $ f(x)_n = 3\sqrt[n]{|x_n|}x_n $ は局所リプシッツ的ではあるが、原点でフレシェ微分可能でない。
• 原点は不安定である。なぜなら、任意の $ \delta > 0 $ に対して、$ \|x(0)\| < \delta $ である初期状態が、1つのモードでの不安定性により発散するからである。
• 元の例では右辺は一様リプシッツ的でないため、有限逃げ出し時間が生じるが、変更を加えることで一様リプシッツ的になる。