[論文レビュー] Linearization of holomorphic germs with resonant linear part

Ricardo Pérez-Marco|ArXiv.org|Sep 4, 2000

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 7被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、複素空間における共振的線形部をもつ正則微分同相の局所的正則線形化を検討する。二分法的性質を確立する：すべての形式的線形化が収束する（したがって正則線形化が存在する）か、すべてが発散するかのいずれかである。後者の場合、Bruno条件が満たされないときに限り発生する。主な貢献は、最大共振の場合におけるBruno条件の最適性を示したことであり、小分母問題における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We study the linearization problem of germs of holomorphic diffeomorphisms with resonant linear part. The formal linearization requires in general an infinite number of algebraic relations to be satisfied by the coefficients of the power series defining the holomorphic germ. For a fixed germ, the linearizing mappings are not unique, but the existence of a finite jet with a formal divergent linearization but no convergent one forces all the other linearizing mappings to be diverging. We consider also polynomial families formally conjugated to a fixed resonant linear part. Then all the elements of the family are holomorphically linearizable, or we are in the precedent diverging situation for all but an exceptional set of parameter values of zero $Γ$-capacity. In the case of maximal non-trivial resonance we prove the optimality of Bruno condition.

研究の動機と目的

• 共振的線形部をもつ正則局所的写像の線形化問題を解明すること、特にBruno条件が満たされない場合に焦点を当てる。
• 共振的状況における形式的線形化可能性と正則線形化可能性の関係を明確化すること。
• 二分法的性質を確立する：すべての形式的線形化が収束するか、すべてが発散するかのいずれかである。
• 最大非自明な共振の場合に、Bruno条件の最適性を示すこと。
• このような局所的写像の多項式族を分析し、正則線形化可能性がパラメータ空間全体で普遍的であるか、またはゼロΓ容量をもつ例外的集合であるかを示すこと。

提案手法

• 原点における形式的微分同相群における形式的線形化の構造を分析するために、形式的級数とジャンクション射影を用いる。
• 代数幾何学を適用して、形式的線形化のm次ジャンクションの集合がアフィン代数的多様体をなすことを示す。
• ジャンクション空間間の線形同型の帰納的極限を用いて、普遍的線形化写像を構成する。
• 局所的写像の多項式族を分析し、形式的線形化がパラメータに関して多項式的に変化し、線形化パラメータ空間に関して線形的であることを証明する。
• 小分母理論とBruno条件を用いて、線形化級数の収束を決定する。
• 非線形化可能な1変数正則写像を用いた反例を構成することで、問題を1次元力学系に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共振的線形部をもつ正則局所的写像が、どのような条件下で正則的に線形化可能か？
• RQ2 Bruno条件は、共振的局所的写像の形式的線形化の収束において、どのように機能するか？
• RQ3 最大非自明な共振の場合に、Bruno条件は線形化において最適か？
• RQ4 形式的線形化が発散する場合、他のすべての形式的線形化も発散すると言えるか？
• RQ5 パラメータ空間全体にわたる、多項式族として与えられた局所的写像の正則線形化可能性は、どのように振る舞うか？

主な発見

• ある局所的写像が発散する形式的線形化をもつならば、その局所的写像の他のすべての形式的線形化も発散する。
• 局所的写像の収束する線形化の集合は、その線形部の正則中心化群と一対一対応する。
• 与えられた局所的写像のすべての収束する線形化に対して、一様な収束半径 R₀ > 0 が存在する。
• 最大非自明な共振の場合、Bruno条件は最適である：条件が満たされない場合、非線形化可能な局所的写像が存在する。
• 固定された共振的線形部に形式的に共役な多項式族の局所的写像に対しては、すべてのメンバーが正則的に線形化可能であるか、非線形化可能なパラメータの集合はゼロΓ容量をもつ。
• 非-Bruno回転数をもつ非線形化可能な1次元写像が存在するならば、同じ線形部をもつ高次元の非線形化可能な局所的写像も存在する。