[論文レビュー] Linearized Asymptotic Stability for Fractional Differential Equations

Nguyen Dinh Cong, Thai Son Doan+2 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Dec 15, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、次数 $\alpha \in (0,1)$ の Caputo 型分数階微分方程式に対して、線形化漸近安定性の定理を確立する。非線形系の平衡点における線形化の固有値が、領域 $\{\lambda \in \mathbb{C} : |\arg \lambda| > \alpha\pi/2\}$ に含まれるならば、その平衡点は漸近的に安定であることを証明する。この結果は、Lyapunov の第一法を分数階系へ拡張したものであり、先行研究における欠陥を是正し、安定性解析の厳密な基礎を提供する。

ABSTRACT

We prove the theorem of linearized asymptotic stability for fractional differential equations. More precisely, we show that an equilibrium of a nonlinear Caputo fractional differential equation is asymptotically stable if its linearization at the equilibrium is asymptotically stable. As a consequence we extend Lyapunov's first method to fractional differential equations by proving that if the spectrum of the linearization is contained in the sector $\{λ\in \C : |\arg λ| > \frac{απ}{2}\}$ where $α> 0$ denotes the order of the fractional differential equation, then the equilibrium of the nonlinear fractional differential equation is asymptotically stable.

研究の動機と目的

• 分数階微分方程式に対する Lyapunov の第一法の厳密な版を確立すること。
• 先行研究における分数階系の線形化安定性に関する証明の不整合性および欠陥を解消すること。
• 線形化系の固有値スペクトルに基づく、平衡点の漸近安定性の必要十分条件を提示すること。
• 線形フィードバックを用いた分数階 Lotka-Volterra 系の安定化を通じて理論の適用可能性を示すこと。
• 過去の研究における Gronwall の補題の誤った適用および解の大きさに関する不適切な仮定を是正すること。

提案手法

• 著者らは、$f(0) = 0$ および $Df(0) = 0$ を満たす非線形 Caputo 分数階微分方程式 $^C D_{0+}^\alpha x(t) = A x(t) + f(x(t))$ を分析する。
• 線形化系 $^C D_{0+}^\alpha x(t) = A x(t)$ の既知の安定性基準を用いる。これは、$A$ のすべての固有値 $\lambda$ が $|\arg \lambda| > \alpha\pi/2$ を満たす場合に成立する。
• 証明は、Gronwall 型の誤った議論を避けるために、積分不等式の厳密な適用と Mittag-Leffler 関数 $E_\alpha$ の性質に依拠する。
• 線形系の基本解を用いた比較原理を確立し、非線形項は局所リプシッツ性に基づいて推定する。
• 解の大きさを事前に小さく仮定するのを回避することで、過去の証明の欠陥を是正する。
• この手法は、状態フィードバック制御を用いて分数階 Lotka-Volterra 系を安定化することで検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形 Caputo 分数階微分方程式の平衡点が漸近的に安定であるための、線形化のスペクトル的条件は何か？
• RQ2 先行研究における分数階系の線形化安定性の証明が失敗する理由は何か？ そして、その欠陥はどのように是正できるか？
• RQ3 次数 $\alpha \in (0,1)$ の分数階系に対して、Lyapunov の第一法を厳密に拡張できるか？
• RQ4 線形フィードバックを用いて、分数階 Lotka-Volterra 系をどのように安定化できるか？
• RQ5 Mittag-Leffler 関数は、分数階系の安定性を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 非線形分数階微分方程式 $^C D_{0+}^\alpha x(t) = A x(t) + f(x(t))$ の平衡点は、$A$ のスペクトルが領域 $\{\lambda \in \mathbb{C} : |\arg \lambda| > \alpha\pi/2\}$ に含まれる場合、漸近的に安定である。
• 証明は、Gronwall の補題の誤った適用や解の大きさに関する不適切な仮定といった、過去の誤りを是正している。
• 線形化系 $^C D_{0+}^\alpha x(t) = A x(t)$ は、$\sigma(A) \subset \{\lambda \in \mathbb{C} : |\arg \lambda| > \alpha\pi/2\}$ である場合にかつその場合にのみ漸近的に安定である。これはスペクトル条件を確認するものである。
• 分数階 Lotka-Volterra 系において、制御なしでは自明解は不安定である。これは Mittag-Leffler 関数を用いた背理法によって示される。
• フィードバック制御 $u(t) = Kx(t)$ において $K = (-2h, 0)$ とすると、閉ループ系は任意の $\alpha \in (0,1)$ に対して漸近的に安定になる。これは $A + BK$ の固有値が $-h$ および $-r$ であり、スペクトル条件を満たすからである。
• 本結果は、古典的な Lyapunov 理論に類似した、非線形分数階系の安定性に関する強固で一般的な基準を提供する。