[論文レビュー] Linearized stability theorem for invariant and quasi-invariant parabolic differential equations in Banach manifolds with applications to free boundary problems

Shangbin Cui|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リー群の作用に関して不変または準不変なバナッハ多様体上における放物型微分方程式の線形化安定性定理を確立した。これは自由境界問題に共通する構造であり、非孤立な定常解の安定性解析を可能にする。主な結果として、表面張力が臨界閾値を超える場合、腫瘍成長モデルにおける球対称定常解の漸近的安定性が証明され、十数年間にわたり未解決であった長年のオープンな問題を解決した。

ABSTRACT

If a differential equation in a Banach manifold is invariant or quasi-invariant under the action of one or more Lie groups, then its stationary points cannot be isolated, so that classical linearized stability theorem does not apply to it. The first main purpose of this paper is to establish a linearized stability theorem for parabolic differential equations in Banach manifolds which are either invariant or quasi-invariant under actions of a number of Lie groups. The second purpose of this paper is to apply this theorem to analyze stability of stationary solutions of some free boundary problems. In order to apply the abstract result to concrete free boundary problems, Banach manifold made up of certain kind of domains such as simple domains in ${\mathbf{R}}^n$ is a fundamental tool which seems to have not been well-studied in the literature yet. Hence in this paper we also make some basic investigation to a such manifold. In Section 5 we use Nash-Moser implicit function theorem to prove an interesting result for an obstacle problem which says that if the domain $Ω$ of this obstacle problem is a small perturbation of a sphere then its interface $Γ$ is smooth and depends on $Ω$ smoothly. By using these results, in the last section we prove asymptotic stability of radial stationary solution of a free boundary problem modeling the growth of necrotic tumors, which has been kept open for over ten years.

研究の動機と目的

• リー群の作用に関して不変または準不変なバナッハ多様体上における放物型微分方程式の線形化安定性定理を構築すること。古典的安定性理論は、非孤立な定常点が存在する場合に失敗するため、その状況を想定する。
• 抽象的安定性定理を自由境界問題に応用すること。特に、対称性が連続的な定常解の族を生じる腫瘍成長や液体ドロップの動的現象のモデル化に焦点を当てる。
• R^nにおける単純な領域の多様体、特に球面を、バナッハ空間設定下での自由境界問題を解析する基盤的構造として考察すること。
• 特定の物理的パラメータ下で、壊死性腫瘍成長モデルにおける球対称定常解の漸近的安定性が保証されるかを解明する長年のオープンな問題を解決すること。

提案手法

• バナッハ多様体上におけるリー群作用の下での不変性および準不変性の概念を形式化し、連続的な定常解の族の存在を保証する。
• 定常点におけるフレッシェ微分のスペクトルバウンドを分析することで、対称性に起因する核を考慮した修正された線形化安定性基準を確立する。
• ナッシュ＝モーザーの陰関数定理を用いて、特に球面の小さな摂動に対して、自由境界界面が領域の摂動に滑らかに依存することを証明する。
• 抽象的安定性定理を壊死性腫瘍成長をモデル化する自由境界問題に適用し、領域多様体上での球対称定常解に問題を還元する。
• 球面上での線形化作用素をスペクトル理論を用いて分析し、楕円型擬微分作用素とフレドホルム理論を用いて、スペクトルバウンドによる安定性の決定を行う。
• 線形化作用素の核と値域を用いて中心多様体と安定多様体の分解を構成し、適切な条件下で解が球対称解に漸近的に収束することを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群作用に関して不変または準不変なバナッハ多様体上における放物型方程式に対して、非孤立な定常点が存在する場合に線形化安定性定理を拡張可能か？
• RQ2 壊死性腫瘍成長をモデル化する自由境界問題における球対称定常解は、物理的パrameterの制約下でも漸近的に安定か？
• RQ3 特に領域が球面に近い場合、自由境界界面は小さな領域摂動に対してどのように振る舞うか？
• RQ4 表面張力係数は、対称的自由境界問題における定常解の安定性を決定づける要因として果たす役割は何か？

主な発見

• 自由境界問題でモデル化された壊死性腫瘍成長において、球対称定常解は表面張力係数が臨界閾値 γ* を超える場合に漸近的に安定である。
• 表面張力係数 γ > γ* の場合、線形化作用素のスペクトルバウンドはゼロ以外の部分で負であり、ゼロにおける微分作用素の核は3次元であり、これは球面の剛体移動に対応する。
• 線形化作用素の値域は閉じており、バナッハ空間は核と値域の直和に分解可能であり、中心多様体還元の適用可能性が保証される。
• 初期領域が球面に近い場合、解は球対称解の平行移動版に収束し、その収束は領域多様体上でのC^1位相で成立する。
• 障害問題の界面は、領域が球面の小さな摂動である場合、滑らかであり、領域に滑らかに依存する。これはナッシュ＝モーザー定理によって確立された。
• 表面張力係数 γ < γ* の場合、球対称解は不安定であり、スペクトルバウンドが正であるため、径方向の摂動が指数関数的に増大する。