[論文レビュー] Linearizing Combinators

Robin Cockett, Jean-Simon Pacaud Lemay|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2020

Polynomial and algebraic computation被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、カルテジアン微分圏の代替公理化として線形化コンビネータを導入し、微分コンビネータがこのようなコンビネータの体系から再構成可能であることを示している。カルテジアン閉圏の文脈では、全関数の線形化コンビネータが部分線形化コンビネータを生じることを確立しており、標準的な微分コンビネータの方法とは双対的な視点を可能にしている。

ABSTRACT

In 2017, Bauer, Johnson, Osborne, Riehl, and Tebbe (BJORT) showed that the Abelian functor calculus provides an example of a Cartesian differential category. The definition of a Cartesian differential category is based on a differential combinator which directly formalizes the total derivative from multivariable calculus. However, in the aforementioned work the authors used techniques from Goodwillie's functor calculus to establish a linearization process from which they then derived a differential combinator. This raised the question of what the precise relationship between linearization and having a differential combinator might be. In this paper, we introduce the notion of a linearizing combinator which abstracts linearization in the Abelian functor calculus. We then use it to provide an alternative axiomatization of a Cartesian differential category. Every Cartesian differential category comes equipped with a canonical linearizing combinator obtained by differentiation at zero. Conversely, a differential combinator can be constructed à la BJORT when one has a system of partial linearizing combinators in each context. Thus, while linearizing combinators do provide an alternative axiomatization of Cartesian differential categories, an explicit notion of partial linearization is required. This is in contrast to the situation for differential combinators where partial differentiation is automatic in the presence of total differentiation. The ability to form a system of partial linearizing combinators from a total linearizing combinator, while not being possible in general, is possible when the setting is Cartesian closed.

研究の動機と目的

• アーベル関手計算における線形化とカルテジアン微分圏における微分コンビネータの関係を理解する空白を埋めること。
• BJORTの構成（グッドウィルディの関手計算を出発点として）をインspiredに、線形化コンビネータを用いたカルテジアン微分圏の代替公理化を提供すること。
• 線形化コンビネータが微分コンビネータと同等の基礎的構造として機能しうるかどうかを検討すること。
• 特にカルテジアン閉圏において、全線形化コンビネータから部分線形化コンビネータをどのように導出できるかの条件を調査すること。

提案手法

• アーベル関手計算における線形近似の抽象化として線形化コンビネータの概念を導入する。
• 任意のカルテジアン微分圏において、微分コンビネータの第一引数にゼロを代入することで定義される標準的な線形化コンビネータを定義する：$\mathsf{L}[f] = \mathsf{D}[f](0, -)$。
• BJORT法に従い、各文脈における部分線形化コンビネータの体系から微分コンビネータを構成する。
• カルテジアン閉圏において、全微分コンビネータ、線形化コンビネータの体系、および指数可能線形化コンビネータの間の双対的対応を確立する。
• 圏論的双対性を用いて、カルテジアン微分圏における線形化コンビネータをテンソル微分圏におけるコデリクションおよび導出変換に関連付ける。
• 線形化コンビネータが一般化された構造（一般化カルテジアン微分圏や微分制限圏など）に対しても、標準的な微分コンビネータの方法と同等の公理化を提供することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形化コンビネータは、カルテジアン微分圏における微分コンビネータの基礎的代替として機能しうるか？
• RQ2 アーベル関手計算における線形化とカルテジアン微分圏の構造の間の正確な関係は何か？
• RQ3 全線形化コンビネータが部分線形化コンビネータの体系を生成できる条件は何か？
• RQ4 カルテジアン閉構造の存在が、全線形化コンビネータから部分線形化コンビネータを導出する際にどのように影響を与えるか？
• RQ5 線形化コンビネータの枠組みは、微分制限圏や接続圏などの一般化された微分圏へと拡張可能か？

主な発見

• 任意のカルテジアン微分圏は、微分コンビネータの第一引数にゼロを代入することで定義される標準的な線形化コンビネータを備えている。
• 各文脈における部分線形化コンビネータの体系から微分コンビネータを再構成可能であり、これはBJORTの構成を模倣している。
• カルテジアン閉圏では、全線形化コンビネータが部分線形化コンビネータの体系を生じさせ、微分構造の完全な再構成を可能にする。
• カルテジアン閉な文脈において、全微分コンビネータ、線形化コンビネータの体系、および指数可能線形化コンビネータの間には双対的対応が存在する。
• 線形化コンビネータは、標準的な微分コンビネータの方法と同等の公理化を提供しており、古典的な線形近似と微分の間の関係を代数的枠組みで定式化している。
• この枠組みは一般化された状況へ自然に拡張可能であり、非滑らか解析を含む、より広範な微分の圏的モデルの背後にあるものが線形化である可能性を示唆している。