[論文レビュー] Linearly foliated Calabi-Yau n-folds I. First-order deformations

Antonio J. Ricco|ArXiv.org|Dec 4, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非特異な射影的多様体上に取り付けるベクトルバンドルの全空間として構成される、線形的ファイブレーションを持つカラビ–ヤウ $n$-多様体の1次変形を研究する。アティヤの完全系列とコホモロジー的分解を用いて変形空間を垂直成分と水平成分に分解することで、特に双対バンドルの対称代数に関連する canonical バンドルの消滅条件を通じて、カラビ–ヤウ構造を保つ条件を同定する。

ABSTRACT

We consider classes of noncompact n-folds with trivial canonical bundle, that are linear foliations on nonsingular projective varieties, in general without a projection to the base. We obtain them as first-order deformations of total spaces of vector bundles on those varieties.

研究の動機と目的

• 非特異な射影的多様体上に取り付けられたベクトルバンドルの全空間の1次変形を理解すること。
• そのような変形のうち、canonical バンドルの自明性、すなわちカラビ–ヤウ条件を保つものについて特徴づけること。
• アティヤの完全系列と基底上でのコホモロジーを用いて、変形空間 $H^1(V, T_V)$ を垂直成分と水平成分に分解すること。
• 双対バンドルの対称冪を用いた明示的なコホモロジー的条件を導出し、カラビ–ヤウ変形を記述すること。
• 正則曲線上のランク-$r$ ベクトルバンドルの特別な場合を分析し、問題をラインバンドルの変形とべき級数展開に還元すること。

提案手法

• 全空間 $V$ 上のコホモロジーに完全系列を誘導するため、完全系列 $0 \to \pi^*V \to T_V \to \pi^*T_M \to 0$ を用いる。
• 同型 $H^i(V, \pi^*E) \simeq H^i(M, E \otimes \mathrm{Sym} V^*)$ を適用し、$V$ 上のコホモロジーを基底 $M$ 上のコホモロジーで表現する。
• $H^1(V, T_V)$ を $H_{\text{vert}} \oplus H_{\text{horiz}}$ に分解し、ここで $H_{\text{vert}} = H^1(M, V \otimes \mathrm{Sym} V^*) / \mathrm{im}(\delta_1)$ かつ $H_{\text{horiz}} = \ker(\delta_2: H^1(M, T_M \otimes \mathrm{Sym} V^*) \to H^2(M, V \otimes \mathrm{Sym} V^*))$ と定義する。
• 微分 $\partial: T_V \to \mathcal{O}_V$ によって誘導される写像 $\partial^\#: H^1(V, T_V) \to H^1(V, \mathcal{O}_V)$ を導入し、その核がカラビ–ヤウ構造を保つ変形を特定する。
• 曲線の場合に Čech コホモロジーを用いて変形を明示的に計算し、ファイバー座標のべき級数として遷移関数を表現する。
• カラビ–ヤウ条件を変形係数に関する偏微分方程式系として導出する：$\frac{\partial}{\partial z_\beta} \rho^{(m_1\cdots m_r)}_{\alpha\beta} = -\sum_{j=1}^r (m_j+1) \sigma^{j(m_1\cdots m_j+1\cdots m_r)}_{\alpha\beta}$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非特異な射影的多様体 $M$ 上のベクトルバンドル $V$ の全空間の1次変形空間 $H^1(V, T_V)$ は、幾何的に意味のある成分にどのように分解可能か？
• RQ2 基底多様体 $M$ とベクトルバンドル $V$ にどのような条件を課すと、$V$ の変形がカラビ–ヤウ構造（すなわち canonical バンドルの自明性）を保つのか？
• RQ3 canonical バンドルの変形写像 $\partial^\#$ は、変形空間におけるカラビ–ヤウ条件の保存とどのように関係するか？
• RQ4 ベクトルバンドル $V$ が非特異な曲線 $\Sigma$ 上にある場合、1次変形の明示的形はどのように記述可能か。特にラインバンドルの分解に着目して。
• RQ5 曲線の場合に、変形係数 $\rho^{(m_1\cdots m_r)}_{\alpha\beta}$ と $\sigma^{j(m_1\cdots m_r)}_{\alpha\beta}$ は、カラビ–ヤウ条件をどのように満たすか？

主な発見

• 1次変形空間 $H^1(V, T_V)$ は、基底 $M$ 上のコホモロジー群を用いて自然に垂直成分と水平成分に分解され、本稿で定義された $H_{\text{vert}}$ と $H_{\text{horiz}}$ で与えられる。
• 全空間 $V$ におけるカラビ–ヤウ条件は $\det V \simeq K_M$ と同値であり、この条件が変形のもとで保たれるのは、$\partial^\#$ の像が消える場合に限る。
• 非特異な曲線 $\Sigma$ 上のベクトルバンドルに対しては、変形係数 $\rho^{(m_1\cdots m_r)}_{\alpha\beta}$ は $H^1(\Sigma, K_\Sigma^{-1} \otimes \phi_1^{-m_1} \cdots \phi_r^{-m_r})$ に属し、$\sigma^{j(m_1\cdots m_r)}_{\alpha\beta}$ は $H^1(\Sigma, \phi_1^{-m_1} \cdots \phi_j^{-(m_j-1)} \cdots \phi_r^{-m_r})$ に属する。
• カラビ–ヤウ条件は、変形係数上で偏微分方程式系 $\frac{\partial}{\partial z_\beta} \rho^{(m_1\cdots m_r)}_{\alpha\beta} = -\sum_{j=1}^r (m_j+1) \sigma^{j(m_1\cdots m_j+1\cdots m_r)}_{\alpha\beta}$ に還元される。
• $V$ がラインバンドルの直和 $\phi_1 \oplus \cdots \oplus \phi_r$ である場合、変形データはファイバー座標における遷移関数のコホモロジー類によって完全に記述可能である。
• $\partial^\#$ の核は、まさにカラビ–ヤウ構造を保つ1次変形を特定し、このような変形を特徴づけるコホモロジー的基準を提供する。