[論文レビュー] Linearly Reductive Quotient Singularities

Christian Liedtke, Gebhard Martin+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、正の特性および混合特性における線型的再帰的商特異点（lrq 特異点）を調査し、その分類、剛性、および変形性を確立する。F-正則（ respectively F-正則かつ Gorenstein）な表面特異点は、それぞれ GL₂ および SL₂ の有限線型的再帰的部分群スキームから生じる特異点に正確に一致することを証明し、次元 ≥4 の lrq 特異点が無限小的剛性を示すことを示し、Schlessinger の定理を一般化する。本研究は Gorenstein 場合における Riemannschneider の予想を確認し、特性 0 への標準的リフトを確立する。

ABSTRACT

We study isolated quotient singularities by finite and linearly reductive group schemes (lrq singularities for short) and show that they satisfy many, but not all, of the known properties of finite quotient singularities in characteristic zero: (1) From the lrq singularity we can recover the group scheme and the quotient presentation. (2) We establish canonical lifts to characteristic zero, which leads to a bijection between lrq singularities and certain characteristic zero counterparts. (3) We classify subgroup schemes of ${\mathbf{GL}}_d$ and ${\mathbf{SL}}_d$ that correspond to lrq singularities. For $d=2$, this generalises results of Klein, Brieskorn, and Hashimoto. Also, our classification is closely related to the spherical space form problem. (4) F-regular (resp. F-regular and Gorenstein) surface singularities are precisely the lrq singularities by finite and linearly reductive subgroup schemes of ${\mathbf{GL}}_2$ (resp. ${\mathbf{SL}}_2$). This generalises results of Klein and Du Val. (5) Lrq singularities in dimension $\geq 4$ are infinitesimally rigid. We classify lrq singularities in dimension $3$ that are not infinitesimally rigid and compute their deformation spaces. This generalises Schlessinger's rigidity theorem to positive and mixed characteristic. Finally, we study Riemenschneider's conjecture in this context, that is, whether lrq singularities deform to lrq singularities.

研究の動機と目的

• GL_d および SL_d の有限線型的再帰的部分群スキームのうち、孤立した商特異点をもたらすものを探る。
• lrq 特異点を特性 0 に標準的にリフトし、それらの特性 0 における類似物と関連付ける。
• lrq 特異点が次元 ≥4 で無限小的剛性を示すことを証明することで、Schlessinger の剛性定理を正の特性および混合特性に一般化する。
• lrq 特異点の変形に関する Riemannschneider の予想を検証し、特に Gorenstein 場合において確認する。
• F-正則および F-正則かつ Gorenstein な表面特異点が、それぞれ GL₂ および SL₂ の有限線型的再帰的部分群スキームから生じることを特徴づける。

提案手法

• 有限線型的再帰的群スキームの特性 0 への標準的リフトを用い、lrq 特異点とそれらの特性 0 における類似物との間の双対性を構成する。
• 非常に小さい表現の理論および連結・エタール系列を用い、分類問題を巡回的アーベル部分群を持つ抽象的有限群に還元する。
• 複素数体および正の特性における表現の間の専用写像を用い、複素数体および正の特性における群作用を関連付ける。
• Hirzebruch–Jung の連分数および連分数の項を用い、ファイバー間の特異点型を比較する。
• 最小解消における Picard 群および格子埋め込みを用い、双対解消グラフおよび退化における群スキームの位数を比較する。
• F-符号番号の下半連続性および klt および特異点の理論を用い、変形挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL_d および SL_d の有限線型的再帰的部分群スキームの中で、どのものが孤立した商特異点をもたらすか？
• RQ2 lrq 特異点は特性 0 に標準的にリフト可能か？また、そのリフトは特性 0 における類似物と双対性を持つだろうか？
• RQ3 次元 ≥4 の lrq 特異点は無限小的剛性を示すだろうか？これは Schlessinger の定理を正の特性および混合特性に一般化する。
• RQ4 lrq 特異点は他の lrq 特異点に変形可能だろうか？Riemannschneider の予想が成り立つ条件は何か？
• RQ5 F-正則（ respectively F-正則かつ Gorenstein）な表面特異点は、それぞれ GL₂ および SL₂ の有限線型的再帰的部分群スキームから生じる特異点に正確に一致するだろうか？

主な発見

• F-正則な表面特異点は、GL₂ の有限線型的再帰的部分群スキームから生じる特異点に正確に一致する。
• F-正則かつ Gorenstein な表面特異点は、SL₂ の有限線型的再帰的部分群スキームから生じる特異点に正確に一致する。
• 次元 ≥4 の lrq 特異点は無限小的剛性を示し、Schlessinger の剛性定理を正の特性および混合特性に一般化する。
• 非剛性な lrq 3 次元特異点の変形空間は分類され、このような特異点はまれであり、明示的に記述できる。
• Riemannschneider の予想は Gorenstein 場合に成立する：中央ファイバーが Gorenstein であれば、lrq 特異点の変形は lrq のままである。
• d が char(k) のべきであれば、GL_d,k の任意の有限非常に小さい部分群スキームは巡回群である。これは、可能な群スキームに強い制限を与える。