[論文レビュー] Lines on contact manifolds II

Stefan Kebekus|ArXiv.org|Mar 29, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素接触多様体上の最小有理曲線の幾何を調査し、一般点を通過する曲線の集合に注目する。変形理論と接写像を用いて、接写像が双有理的であることを証明しており、これは一般点と接方向が高々1本の最小有理曲線を決定することを意味する。さらに、その集合の正規化が射影錐と同型であることを示し、接触多様体の構造的性質を明らかにする。

ABSTRACT

Complex contact manifolds have recently received considerable attention. Many of the newer publications approach contact manifolds via the covering family of minimal rational curves. This short note furthers the study of these curves. It is known that for any point x in X, the subvariety, which is covered by those curves which contain x, is Legendrian. We will now study the deformations of these subvarieties which are generated by moving the base point. As a main application, we give a positive answer to a question of J.M. Hwang in the case of contact manifolds: a sufficiently general tangent vector is contained in at most a single minimal rational curve. The author believes that this is a necessary step towards a full classification of contact manifolds. We give a second application by showing that the normalization of the subvariety of minimal curves through x is isomorphic to a projective cone.

研究の動機と目的

• 接触多様体上の接写像の双有理性についてJ.M. Hwangが提起した問いを解決すること。
• 接触多様体上での一般点を通過する最小有理曲線の集合の変形を研究すること。
• 一般点を通過する曲線の集合の正規化の幾何的構造を特定すること。
• 一般点を通過する曲線の集合の正規化が射影錐と同型であることを確立し、接触多様体の分類を進めること。

提案手法

• 接触多様体 X の一般点 x を通る曲線の集合の変形理論を用いる。
• O’Neill のテンソルに基づく基準を適用し、接バンドルの切断が接触分布 F に含まれる条件を特定する。
• 曲線のパラメータ空間 H_x 上の普遍族 U_x を用い、接触線バンドル L をこの族に引き戻したもの（pullback）を研究する。
• Mori の Bend-and-Break 論法と Stein 因子分解を用いて、普遍族内の切断を収縮させることで、集合の正規化が得られることを示す。
• F_x に属さない非退化な接ベクトルを用いて、普遍族内に x のファイバーとは交わらない第二の切断 σ_0 を構成し、正規化が錐であることを証明する。
• ι_x^*(L) の切断の交線論と消滅点を分析し、非横断的交わりを仮定すると矛盾が生じることを示し、τ_x の双有理性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触多様体 X の一般点 x に対して、接写像 τ_x : H_x → ℙ(T_X^*|_x) は双有理的か？
• RQ2 接触多様体上での一般点 x を通過する曲線の集合の正規化の幾何的構造は何か？
• RQ3 点 x を通る曲線の集合は、その Legendrian 性を保ちつつ、その大域的構造を明らかにする変形が可能か？
• RQ4 点 x を通る曲線の集合の正規化は錐構造をもつのか？ もしそうなら、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 接触多様体上での一般点と一般接方向を通過する最小有理曲線は一意的か？

主な発見

• 接写像 τ_x はその像上へ双有理的であり、一般点と接方向が高々1本の最小有理曲線を決定することを意味する。
• 一般点 x を通過する曲線の集合の正規化は、射影錐と同型である。
• 点 x を通過する曲線の集合は Legendrian であり、変形においても等方的性質を保ち、接触構造が保存される。
• 普遍族 U_x 内に、x のファイバーとは交わらない第二の切断 σ_0 が、F_x に属さない接ベクトルの存在から存在することが保証される。
• U_x 内の切断 σ_∞ の収縮により、集合の正規化が得られ、その錐構造が確認される。
• ι_x^*(L) の切断に関連する除数の交線論は、横断的性質を示唆し、これが τ_x の双有理性の証明に不可欠である。