[論文レビュー] Liouville ergodicity of linear multi-particle hamiltonian system with one marked particle velocity flips

А. А. Лыков, V. A. Malyshev|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1つの粒子がランダムな時刻に確率的かつランダムに速度反転を受ける線形多粒子ハミルトニアン系におけるリウヴィル混合性を確立する。系の不変トーラスによる固有の非混合性にもかかわらず、単一粒子にのみ作用するランダムな速度反転の追加により、相互作用行列に一般的な条件が成り立つ限り、任意の初期状態からエネルギー面上でのリウヴィル測度への収束が生じる。この結果は、代数的非共鳴条件を満たすほとんどすべての系に対して成り立つ。

ABSTRACT

We consider multi-particle systems with linear deterministic hamiltonian dynamics. Besides Liouville measure it has continuum of invariant tori and thus continuum of invariant measures. But if one specified particle is subjected to a simple linear deterministic transformation (velocity flip) in random time moments, we prove convergence to Liouville measure for any initial state. For the proof it appeared necessary to study non-linear transformations on the energy surface.

研究の動機と目的

• 最小限の確率的結合（具体的には1粒子へのランダムな速度反転）が、そうでなければ非混合性を示す線形ハミルトニアン系において混合性を誘発できるかを調査すること。
• このような最小限の摂動がエネルギー面上のリウヴィル測度への収束を引き起こす条件を同定すること。
• 通常、連続体の不変トーラスを有する線形系であっても、この最小限の外部接触を受けることで強混合性を達成できることを確立すること。
• 決定論的非混合系と確率的混合性の間のギャップを、最小限の確率的摂動を導入することで埋めること。

提案手法

• 決定論的側面では、エネルギー面上での非線形解析を用い、速度反転を非線形写像に変換することで、軌道の被覆性を検討する。
• 閉包定理と局所被覆定理を証明し、変換された力学系下で、軌道がエネルギー面上の任意の点に到達可能であることを示す。
• 確率的側面では、連続時間のマコフ過程としてプロセスをモデル化し、埋め込まれたマコフ連鎖を用いて収束を分析する。
• 証明は、行列 $ V $ の作用によって定義される混合部分空間 $ L_- $ に依存しており、系の代数的構造と不変部分空間を特徴付ける。
• 重要な方程式には、ハミルトニアン $ H(\psi) = \sum_{k=1}^N \frac{p_k^2}{2} + \frac{1}{2}(q,Vq) $ と、ランダムな時刻にのみ $ p_1 $ を反転させる速度反転変換 $ I $ が含まれる。
• 解析は、$ L_-(V) = L $（一般の場合）の系（全被覆が保証される）と、真部分空間となる混合部分空間を有する系（追加のスペクトル条件を要する）とに区別される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの粒子のランダムな速度反転が、線形多粒子ハミルトニアン系における混合性を誘発できるか？
• RQ2 相互作用行列 $ V $ に対してどのような条件下で、系がリウヴィル測度に収束するか？
• RQ3 線形系に不変トーラスが存在する場合、1つの粒子にのみ確率的摂動が加えられたとき、混合性が妨げられるか？
• RQ4 混合部分空間 $ L_- $ の構造は、系の混合性特性とどのように関係するか？
• RQ5 初期状態に依存せず、非混合性を示す線形系であっても、リウヴィル測度への収束は頑健か？

主な発見

• 正定値行列 $ V $ のほとんどすべてのケースにおいて、1粒子へのランダムな速度反転を伴う系は、初期状態に依存せず、エネルギー面上のリウヴィル測度に収束する。
• 収束は $ L_-(V) = L $ という条件のもとで成立し、これは一般かつ正定値行列の空間において稠密である。
• 証明は2段階に分かれており、エネルギー面上の軌道被覆の決定論的解析と、埋め込まれたマコフ過程の確率的解析に基づく。
• 本稿では、速度反転変換がランダムな時刻に適用されると、エネルギー面上で非線形効果を引き起こし、多様体全体の被覆が可能になることを証明している。
• 混合部分空間 $ L_- $ の次元は、$ V $ の固有ベクトル、特に $ e_1 $ に直交するものに関して代数的に特徴付けられる。
• 主な技術的結果は、速度反転力学の下で、系の軌道がエネルギー面上の任意の点に到達可能であり、強混合性が成立することを示している。