[論文レビュー] Liouville gravity from Einstein gravity

Daniel Grumiller, R. Jackiw|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2007

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、球対称還元、双対変換、および逆双対変換を用いて、ニュートン定数が $\varepsilon$ に比例する $2+\varepsilon$ 次元の純粋なアインシュタイン重力が $\varepsilon \to 0$ の極限において 2 次元リウヴィル重力に現れることを示している。得られた作用は標準的なリウヴィル形式と一致し、幾何学的性質、物質結合、エントロピーの性質と整合していることが確認された。

ABSTRACT

We show that Liouville gravity arises as the limit of pure Einstein gravity in 2+epsilon dimensions as epsilon goes to zero, provided Newton's constant scales with epsilon. Our procedure - spherical reduction, dualization, limit, dualizing back - passes several consistency tests: geometric properties, interactions with matter and the Bekenstein-Hawking entropy are as expected from Einstein gravity.

研究の動機と目的

• ニュートン定数を $\kappa_{2+\varepsilon} \propto \varepsilon$ にスケーリングするとき、$\varepsilon \to 0$ の極限において $2+\varepsilon$ 次元アインシュタイン重力の整合的な動的極限を確立すること。
• 球対称還元と双対変換を用いて、アインシュタイン＝ヒルベルト作用の $0/0$ の不定形極限を解消すること。
• 得られる 2 次元有効理論が、既知の 2 次元重力モデルと一致するリウヴィル重力であることを示すこと。
• 極限が幾何的性質、物質結合、およびベケンシュタイン＝ホーキングエントロピーのスケーリングと整合していることを確認すること。

提案手法

• $D=2+\varepsilon$ のアインシュタイン重力に対して球対称還元を施し、ドライソン場を含む 2 次元有効作用を得ること。
• 還元された作用に対して双対変換を適用し、$\varepsilon \to 0$ の極限を適切に定義可能にする。
• 双対作用の $\varepsilon \to 0$ の極限をとり、リウヴィル型ポテンシャルを有する非自明な 2 次元作用を得ること。
• 元のフレームに戻すために再び双対化することで、結合定数 $\hat{\kappa}$ を持つ標準的なリウヴィル重力作用を回復すること。
• バルク作用にギブンズ＝ホーキング＝ヨーク項とハミルトニアン＝ジャコビ補正項を加えることで境界項を構成すること。
• 幾何学的性質、物質結合、エントロピースケーリングに関する整合性チェックにより、整合性を確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\kappa_{2+\varepsilon} \propto \varepsilon$ のとき、$\varepsilon \to 0$ の極限において $2+\varepsilon$ 次元アインシュタイン重力の適切な定義された極限を構築できるか？
• RQ2 得られる 2 次元有効理論は、既知のリウヴィル重力の形と一致するか？
• RQ3 幾何学的および熱力学的性質（例えばベケンシュタイン＝ホーキングエントロピー）は、アインシュタイン重力の予想に一致するか？
• RQ4 双対性に基づく手続きは、次元削減と極限の間で物理的整合性を保つのに十分に堅牢か？
• RQ5 $2+\varepsilon$ 理論における境界項は、2 次元リウヴィル理論にどのように写像されるか？

主な発見

• $\kappa_{2+\varepsilon} \propto \varepsilon$ である $2+\varepsilon$ 次元アインシュタイン重力の極限 $\varepsilon \to 0$ は、非自明な 2 次元作用を生じ、結合定数 $\hat{\kappa} = \lim_{\varepsilon \to 0} \varepsilon \kappa_{2+\varepsilon}$ を持つ標準的なリウヴィル重力作用と一致する。
• 得られた作用は $\Gamma_{\rm L} = -\frac{1}{\hat{\kappa}} \int d^2x \sqrt{|g|} \left( \phi R - (\nabla\phi)^2 - \lambda e^{-2\phi} \right)$ であり、リウヴィル形式が確認された。
• 物質場への結合により、「物質が幾何学が曲がる仕方を教えてくれる」という原理が保たれていることが示された。
• ベケンシュタイン＝ホーキングエントロピーは $S \propto M$ にスケーリングし、関係式 $\varepsilon \hat{\kappa} = 2\kappa = \lim_{\varepsilon \to 0} \kappa_{2+\varepsilon}$ によりエントロピーのスケーリングと整合していることが保証された。
• ギブンズ＝ホーキング＝ヨーク項とハミルトニアン＝ジャコビ補正項を加えることで境界項の構造が確認され、完全に整合性のある 2 次元作用が得られた。
• 双対性に基づくアプローチにより、極限が適切に定義されており、最終理論が無限次元のモデルと双対であることが確認され、2 次元重力における既知の双対性と整合している。