[論文レビュー] Liouville properties of plurisubharmonic functions

Lei Ni, Luen-Fai Tam|ArXiv.org|Dec 28, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非負の正則バイセクショナル曲率をもつ完備非コンパクトケーラー多様体上での滑らかな擬凸関数に対して、Liouville型定理を確立し、その関数が部分対数的成長を示すならば定数関数であることを証明する。この結果を用いて、線形成長を示す調和関数の分解定理と曲率ギャップ定理を導出し、スカラー曲率が十分に速く減少するならば多様体は平坦であることを示し、ケーラー幾何における既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove a Liouville theorem for the plurisubharmonic functions on complete Kaelher manifolds. As the applications, we prove a splitting theorem for complete Kaehler manifolds with nonnegative biscetional curvature in terms of the linear growth harmonic functions and a optomal gap theorem for such manifolds.

研究の動機と目的

• 非負の正則バイセクショナル曲率をもつ完備非コンパクトケーラー多様体上での擬凸関数に対するLiouville型定理の証明。
• このような多様体上での線形成長を示す調和関数の分解定理の確立。
• スカラー曲率の減少が多様体の平坦性を示すギャップ定理の証明。
• Poincaré-Lelong方程式とLiouville型推定を用いた先行研究と比較して、より単純かつ直接的な曲率ギャップ定理の証明の提供。

提案手法

• 曲率の有界性の下で擬凸関数に対するラプラシアン比較推定の使用。
• Cheng-Yauの勾配推定の応用により、調和関数の |∇f|² の成長を制御。
• p-擬凸関数 u = log(1 + |∇f|²) の構成と、曲率テンソルの推定によるそのラプラシアンの上界の導出。
• 関数 Ψ + C₁h に最大原理を適用し、曲率テンソルの点ごとの上界を導出。
• Kähler–Ricciフローを用いて曲率の非負性を保ち、t → 0 の極限に移行可能にする。
• Poincaré-Lelong方程式を用いてリッチ曲率と擬凸関数 u を関係づけ、主なLiouville定理により、u の部分対数的成長が定数性を示すことを利用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の正則バイセクショナル曲率をもつ完備非コンパクトケーラー多様体上での擬凸関数が、どのような成長条件下で定数関数となるか？
• RQ2 線形成長を示す非定数調和関数の存在は、多様体が ℝ または ℂ を含む積多様体に分解可能であることを示唆するか？
• RQ3 非負のバイセクショナル曲率をもつケーラー多様体が平坦であることを保証するスカラー曲率の最適な減少率は何か？
• RQ4 Kähler–Ricciフローの下で、擬凸関数のLiouville的性質は安定か？
• RQ5 より弱い曲率減少仮定の下でもPoincaré-Lelong方程式を解くことができ、平坦性を導けるか？

主な発見

• 非負の正則バイセクショナル曲率をもつ完備非コンパクトケーラー多様体上での滑らかな擬凸関数 u は、limsup_{x→∞} u(x)/log r(x) = 0 ならば定数関数である。
• 調和関数 f がすべての ε > 0 に対して limsup_{x→∞} |f(x)| / r^{1+ε}(x) = 0 を満たすならば、f は線形成長を示し、M は等長的に M̃ × ℝ に分解する。
• M の普遍被覆は正則的かつ等長的に M′ × ℂ に分解され、f が正則関数ならば M 自身も M̃ × ℂ に分解する。
• 非負のバイセクショナル曲率をもつ完備非コンパクトケーラー多様体は、∫₀ʳ s(⨍_{Bₒ(s)}ℛ(y)dy) ds = o(log r) を満たすならば平坦である。均一な減少仮定がなくても成立する。
• スカラー曲率の境界 ℛ(x) ≤ C(r²(x) + 1) と平均スカラー曲率の積分条件が、Poincaré-Lelong方程式とLiouville定理を用いて平坦性を結論づけるのに十分である。
• 先行研究よりもより一般的な条件下で結果が成り立つ。具体的には、∫₀ʳ s(⨍_{Bₒ(s)}ℛ(y)dy) ds = o(log r) および liminf_{r→∞} ⨍_{Bₒ(r)}ℛ²(y)dy = 0 の両方を仮定するだけで十分である。