[論文レビュー] Liouville quantum gravity surfaces with boundary as matings of trees

Morris Ang, Ewain Gwynne|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 47被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、境界を持つリーマン面におけるリーマン・量子重力（LQG）表面（特に量子ディスクまたは量子ウェッジ）上に埋め込まれた空間を満たすSLE$_{16/\gamma^2}$曲線の左/右量子境界長プロセスが、相関 $-\cos(\pi\gamma^2/4)$ を持つ相関付き2次元ブラウン運動として進化することを確立する。これは、全域量子コーンへのツリーの接合定理を境界の場合に拡張し、相関付きブラウン運動の関数的法則を用いて、境界長が与えられた量子ディスクのLQG面積の条件付き分布を明示的に計算可能にする。

ABSTRACT

For $γ\in (0,2)$, the quantum disk and $γ$-quantum wedge are two of the most natural types of Liouville quantum gravity (LQG) surfaces with boundary. These surfaces arise as scaling limits of finite and infinite random planar maps with boundary, respectively. We show that the left/right quantum boundary length process of a space-filling SLE$_{16/γ^2}$ curve on a quantum disk or on a $γ$-quantum wedge is a certain explicit conditioned two-dimensional Brownian motion with correlation $-\cos(πγ^2/4)$. This extends the mating of trees theorem of Duplantier, Miller, and Sheffield (2014) to the case of quantum surfaces with boundary (the disk case for $γ\in (\sqrt 2 , 2)$ was previously treated by Duplantier, Miller, Sheffield using different methods). As an application, we give an explicit formula for the conditional law of the LQG area of a quantum disk given its boundary length by computing the law of the corresponding functional of the correlated Brownian motion.

研究の動機と目的

• 全域平面の量子コーンへのツリーの接合定理を、量子ディスクや量子ウェッジなどの境界付き量子表面に拡張すること。
• 境界正規化されたLQG表面における空間を満たすSLE$_{16/\gamma^2}$曲線の左/右量子境界長プロセスを特徴付けること。
• 相関付きブラウン運動の表現を用いて、境界長が与えられた量子ディスクのLQG面積の条件付き分布に対して明示的な公式を導出すること。
• $\gamma \in (0,2)$ の全範囲にわたる一貫した枠組みを提供することで、特に $\gamma \in (\sqrt{2}, 2)$ の場合に先行する結果を統一・一般化すること。

提案手法

• 全域平面におけるツリーの接合定理を出発点とし、コンフォーマル埋め込みと量子長パラメータ化を用いて境界付きの表面に適応する。
• 量子ディスクおよびウェッジ上に空間を満たすSLE$_{16/\gamma^2}$曲線を適用し、時間経過に伴う左および右の量子境界長の進化を追跡する。
• コンフォーマル溶接およびSLEの性質から導かれるように、境界長プロセスを相関 $-\cos(\pi\gamma^2/4)$ を持つ相関付きブラウン運動としてモデル化する。
• コーンの拡張過程とシムラのコーン内ブラウン運動を用いて、ゼロに戻ることを条件とした境界長プロセスの同時分布を記述する。
• ストリップ上におけるコンフォーマル写像の正則性推定と歪み評価を用いて、近似過程の収束を制御する。
• 時間反転およびカップリングの議論を適用し、境界長プロセスが曲線を装備した量子表面を同値類の意味でほぼ確実に決定することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間を満たすSLE$_{16/\gamma^2}$曲線が境界付きの量子ディスクまたは量子ウェッジに埋め込まれた場合、左/右量子境界長プロセスはどのように進化するか？
• RQ2 任意の $\gamma \in (0,2)$ に対して、境界長プロセスの正確な分布は相関付きブラウン運動のどの形で記述できるか？
• RQ3 境界長が与えられた量子ディスクのLQG面積の条件付き分布は、境界長プロセスを用いて明示的に計算可能か？
• RQ4 $\gamma \in (0,\sqrt{2}]$ の範囲において、ツリーの接合フレームワークは境界付き量子表面にどのように拡張されるか？
• RQ5 量子ディスク設定において、時間反転されたSLE曲線と境界長プロセスの間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 量子ディスクまたはウェッジ上に埋め込まれた空間を満たすSLE$_{16/\gamma^2}$曲線の左/右量子境界長プロセスは、相関 $-\cos(\pi\gamma^2/4)$ を持つ2次元ブラウン運動である。
• $\gamma \in (0,\sqrt{2}]$ の場合、境界長プロセスはコーン内のブラウン運動の拡張であり、第1象限に留まり、$(1,0)$ で終了するように条件づけられている。
• 境界長が1の量子ディスクのLQG面積の条件付き分布は、相関付きブラウン運動の関数的法則を用いて明示的に導出された。
• 量子ディスク上での時間反転された空間を満たすSLE曲線は、時間反転された境界長プロセスと分布的に同等であることが確認され、可逆性の性質が裏付けられた。
• 曲線を装備した量子表面は、境界長プロセスによってほぼ確実に決定され、境界上での完全なツリーの接合対応関係が確立された。
• この結果は、$\gamma \in (\sqrt{2},2)$ の場合にドゥプラントゥエール、ミラー、シーフィールドらの先行結果を一般化・統合し、$\gamma \in (0,2)$ 全体に拡張された。