[論文レビュー] Liouville theorem of axially symmetric Navier-Stokes equations with growing velocity at infinity

Xinghong Pan, Zijin Li|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 18被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、3次元ナビエ＝ストークス方程式の古代的で軸対称的かつスワールなしの解について、部分線形成長条件の下でリウヴィル型定理を確立する。もし速度が任意の α < 1 に対して |x|^α よりも遅く成長するならば、解は空間的に定数（ur = 0, uz = c(t)）でなければならない。証明は、vorticity 成分 Ω = wθ/r に対する重み付き L^q 評価を用い、エネルギー型不等式とスケーリングの議論により、それが恒等的に消えることを示す。これにより速度がラプラス方程式を満たし、結果として時間にのみ依存することを示す。この結果は、非ゼロの成長を許容する点で先行研究を改善し、線形成長が定理を破ることを示す反例も提示する。

ABSTRACT

In the paper \cite{KNSS:1}, the authors make the following conjecture: {\it any bounded ancient mild solution of the 3D axially symmetric Navier-Stokes equations is constant.} And it is proved in the case that the solution is swirl free. Our purpose of this paper is to improve their result by allowing that the solution can grow with a power smaller than 1 with respect to the distance to the origin. Also, we will show that such a power is optimal to prove the Liouville type theorem since we can find counterexamples for the Navier-Stokes equations such that the Liouville theorem fails if the solution can grow linearly.

研究の動機と目的

• 有界性を超えて部分線形成長条件への拡張を含む、古代的で軸対称的かつスワールなしのナビエ＝ストークス解に対するリウヴィル型定理の拡張。
• リウヴィル定理が依然成立するための成長率の鋭い境界を特定すること。
• 線形成長（α = 1）が定理が破綻する閾値であることを示すために、明示的な反例を構成すること。
• wθ の消滅が、部分線形成長のもとで速度が調和的であり、従って空間的に定数であることを示すこと。

提案手法

• 速度成分を含む輸送拡散方程式を満たす Ω = wθ / r の式を用いる。
• 成長条件 (1.6) と径方向的正則性 (1.7) を利用し、R スケールのカットオフ関数 ηR を用いた重み付き L^q エネルギー評価を適用する。
• 部分積分とヤングの不等式を用いて低次の項を制御し、主エネルギー項に吸収させる。
• バイオ＝サバールの法則を用いて、wθ ≡ 0 から ∆u = 0 を導出し、速度が空間的に調和的であることを示す。
• 部分線形成長条件を適用して、調和的で空間的に依存しない速度場が、結局 u = (0, c(t)) であることを結論づける。
• 線形成長（α = 1）を持つ明示的な解を構成し、部分線形仮定の鋭さを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古代的で軸対称的かつスワールなしのナビエ＝ストークス解について、リウヴィル定理が依然成立する最大の成長率は何か？
• RQ2 有界解に限らず、部分線形成長を持つ解に対してもリウヴィル定理を拡張できるか？
• RQ3 部分線形成長条件（α < 1）は鋭いか、それより緩められるか？
• RQ4 解が線形に成長する場合、リウヴィル定理は依然成立するか？

主な発見

• 古代的で軸対称的かつスワールなしのナビエ＝ストークス解について、速度が任意の α < 1 に対して |x|^α よりも遅く成長するならば、リウヴィル定理が成立する。
• 部分線形成長仮定のもとで、vorticity 成分 wθ は恒等的に消える。これは解が空間的に調和的であることを示唆する。
• 調和性と部分線形成長の両方の条件から、速度場は u = (0, c(t)) の形を取り、ある時間依存関数 c(t) に依存する。
• 成長率 α < 1 は鋭い：α = 1 のとき、非定数解を持つ反例が存在する。例えば ur = C1r, uz = −2C1z + C2(t) であり、定理が成立しないことを示す。
• 証明は、適切に選んだカットオフ関数とスケーリングを用いた Ω = wθ / r に対する L^q 評価に依拠し、R → ∞ のとき Ω の L^q ノルムが消えることを示す。
• この結果は、非自明な成長を許容しつつも、解が空間的に定数であるという結論を保つ点で、先行研究を改善する。