[論文レビュー] Liouville theorems and a Schwarz Lemma for holomorphic mappings between Kähler manifolds

Lei Ni|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、非正の双断面曲率をもつKähler多様体への正則写像が、微分の成長が軽い条件下で全測地的であることを示す、双断面曲率に関する正則的分裂定理の非線形一般化を確立する。さらに、ホロモルフィック断面曲率のみに依存する新しいシュワルツ補題の推定値を導入し、$k$-双曲的性と負の$k$-スカラー曲率を結びつける。

ABSTRACT

We derive some consequences of the Liouville theorem for plurisubharmonic functions of L.-F. Tam and the author. The first result provides a nonlinear version of the complex splitting theorem (which splits off a factor of $\mathbb{C}$ isometrically from the simply-connected Kähler manifold with nonnegative bisectional curvature and a linear growth holomorphic function) of L.-F. Tam and the author. The second set of results concerns the so-called $k$-hyperbolicity and its connection with the negativity of the $k$-scalar curvature (when $k=1$ they are the negativity of holomorphic sectional curvature and Kobayashi hyperbolicity) introduced recently by F. Zheng and the author. We lastly prove a new Schwarz Lemma type estimate in terms of {\it only the holomorphic sectional curvatures of both domain and target manifolds}.

研究の動機と目的

• 上昇関数のリウヴィル型定理を用いて、正則的分裂定理を非線形設定に拡張すること。
• Kähler多様体における$k$-双曲的性と負の$k$-スカラー曲率の関係を調査すること。
• 定義域および被覆多様体のホロモルフィック断面曲率のみに依存する新しいシュワルツ補題推定値を導出すること。
• 正則写像が全測地的となる条件を確立し、調和写像理論からの結果を一般化すること。
• \partial\bar{\partial}$-ボchner公式と体積に基づく推定値を用いて、双曲的性と曲率の概念を統合すること。

提案手法

• 任意の$A > 0$に対して$\log(A + \|\partial f\|^2)$が正則的であることを、$\partial\bar{\partial}$-ボchner公式を用いて示し、曲率推定に利用する。
• 対数的成長より小さい成長を示す正則的上昇関数に対するリウヴィルの定理を適用し、正則写像の挙動を制約する。
• 正規座標を用いて$\|\partial f\|^2$のラプラシアンに関する局所的推定値を導出し、曲率項と微分のノルムを結びつける。
• \mathbb{D}^k$から$N$への正則写像を用いて$k$-ベクトルに擬似ノルムを定義し、このノルムが真のノルムであるかによって$k$-双曲的性を定義する。
• f_\ell(z) = f(\rho_{1/\ell}(z))$を用いたスケーリング議論により、非退化な写像$f: \mathbb{C}^k \to N$が存在するための必要十分条件を示す。
• 負のホロモルフィック断面曲率$H \leq -\kappa|X|^4$の下で、局所的曲率不等式$R^N_{i\bar{i}j\bar{j}}|f^i_\alpha|^2|f^j_\gamma|^2 \leq -\frac{d+1}{2d}\kappa\|\partial f\|^4$を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kähler多様体間の正則写像が全測地的となる曲率的および成長的条件は何か？
• RQ2 Kähler多様体における$k$-双曲的性と$k$-スカラー曲率の負の性質の関係は何か？
• RQ3 定義域および被覆多様体のホロモルフィック断面曲率のみに依存するシュワルツ補題型推定値を導出可能か？
• RQ4 \mathbb{D}^k$からの正則写像によって定義される擬似ノルムが真のノルムであることは、多様体が$k$-双曲的であることの必要十分条件か？
• RQ5 線形分裂定理は、どの程度非線形正則写像に一般化可能か？

主な発見

• 任意の正則写像$f: M \to N$において、$M$が非負の双断面曲率、$N$が非正の双断面曲率をもつとき、$\|df\|$が任意の$\epsilon > 0$に対して$r^\epsilon$未満で成長するならば、全測地的である。
• 特に$m=1$の場合、$N$が非正のホロモルフィック断面曲率をもつとき、同じ成長条件のもとで同様の結論が成り立つ。
• ホロモルフィック断面曲率のみに依存する新しいシュワルツ補題推定値が証明された：$H^N \leq -\kappa|X|^4$ならば、$\Delta\|\partial f\|^2 \geq -\frac{d+1}{2d}\kappa\|\partial f\|^4 - K\|\partial f\|^2$。
• コンパクトKähler多様体$N$の$k$-双曲的性は、$k$-ベクトル$v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$に関する擬似ノルム$\|v_1 \wedge \cdots \wedge v_k\|_k$が真のノルムであることに同値である。
• 擬似ノルムがノルムでない場合、非退化な正則写像$f: \mathbb{C}^k \to N$が存在し、多様体は$k$-双曲的でないことが示される。
• $k$-平面$\Sigma$についてすべての$S_k(y, \Sigma) < 0$ならば、$N$は$k$-双曲的である。これは、$k=1$のときの小林双曲的性を一般化する。