[論文レビュー] Liouville type of theorems with weights for the Navier-Stokes equations and the Euler equations

Dongho Chae|ArXiv.org|Nov 28, 2008

Navier-Stokes equation solutions参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^{N}$ ($N\geq 2$) 上のナビエ＝ストークス方程式およびオイラー方程式、および $\mathbb{R}^{N}$ ($N\geq 3$) 上のMHD方程式に対して、重み付きリウヴィル型定理を確立する。弱解が、速度および圧力が特定の重み関数を用いた積分条件を満たし、重み付き圧力が非負である場合、解は恒等的に消えることを証明する。本結果は、一般の重み関数を組み込み、オイラー方程式およびMHD系へ拡張することで、先行研究を一般化する。

ABSTRACT

We study Liouville type of theorems for the Navier-Stokes and the Euler equations on $\Bbb R^N$, $N\geq 2$. Specifically, we prove that if a weak solution $(v,p)$ satisfies $|v|^2 +|p| \in L^1 (0,T; L^1(\Bbb R^N, w_1(x)dx))$ and $\int_{\Bbb R^N} p(x,t)w_2 (x)dx \geq0$ for some weight functions $w_1(x)$ and $w_2 (x)$, then the solution is trivial, namely $v=0$ almost everywhere on $\Bbb R^N imes (0, T)$. Similar results hold for the MHD Equations on $\Bbb R^N$, $N\geq3$.

研究の動機と目的

• ナビエ＝ストークス方程式およびオイラー方程式のリウヴィル型結果を、積分条件に一般の重み関数を組み込むことで拡張すること。
• オイラー方程式およびMHD方程式に対して、重み付き積分条件および圧力の符号制約の下で、初めてそのような定理を確立すること。
• より広いクラスの重み関数を用い、圧力および速度の積分性に関する仮定を弱めるなどして、[1]の先行結果を統一的かつ一般化すること。
• 重み付き $L^1$ ノルム $|v|^2 + |p|$ および重み付き圧力積分が非負かつ有限である場合、弱解がほとんど everywhere で消えることを証明すること。

提案手法

• 解の挙動を制御するため、径数的重み関数 $w(|x|)$、$\frac{1}{|x|}\int_0^{|x|} w(s)ds$、および $\frac{1}{|x|^2}\int_0^{|x|}\int_0^r w(s)dsdr$ を用いた重み付きエネルギー推定を用いる。
• 弱形式から微分不等式を導出する鍵となるステップでは、重み構造に適合したテスト関数を用いる。
• エネルギーの蓄積を防ぐために、重み付き圧力積分 $\int_{\mathbb{R}^N} p(x,t)\left[w(|x|)+\frac{N-1}{|x|}\int_0^{|x|} w(s)ds\right]dx \geq 0$ の非負性が利用される。
• 圧力を速度および磁場の $L^q$ ノルム ($2<q<\frac{2N}{N-1}$) で制御するために、Calderón-Zygmund推定を用いる。
• MHDの場合、Riesz変換および調和関数を用いて圧力を分解し、衰減仮定により調和部が消えることを保証する。
• 積分性の条件として $\frac{|v|^2+|p|}{1+|x|}$ の積分性、または圧力の無限遠での衰減と速度および磁場の $L^q$ 積分性の2通りのケースを扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナビエ＝ストークス方程式の弱解が消えるのは、$|v|^2 + |p|$ に対してどの重み付き積分条件および圧力の符号条件を満たすときか？
• RQ2 粘性のないオイラー方程式に対し、重み付きノルムを用いてリウヴィル型定理を拡張できるか？
• RQ3 速度と磁場が結合されたMHD方程式に対しても同様の結果を得られるか？
• RQ4 一般の重み関数 $w(r)$ は、自明な解を強制するために必要な衰えや積分性条件にどのように影響を与えるか？
• RQ5 圧力の非負な重み付き積分と組み合わせたとき、$v$ と $p$ の最小限の積分性条件は何か？

主な発見

• もし $\int_0^T \int_{\mathbb{R}^N} (|v|^2 + |p|) \left[w(|x|) + \frac{1}{|x|}\int_0^{|x|} w(s)ds + \frac{1}{|x|^2}\int_0^{|x|}\int_0^r w(s)dsdr\right] dxdt < \infty$ かつ $\int_{\mathbb{R}^N} p(x,t)\left[w(|x|)+\frac{N-1}{|x|}\int_0^{|x|} w(s)ds\right]dx \geq 0$ ならば、$v=0$ は $\mathbb{R}^N \times (0,T)$ 上 almost everywhere で成立する。
• オイラー方程式（$\nu=0$）の場合、同じ重み付き積分条件および圧力符号条件のもとで、同様の結論が成り立ち、粘性のない場合への結果の拡張が達成される。
• MHD方程式で $\mu,\nu \geq 0$ のとき、$\int_0^T \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|v|^2 + |b|^2 + |p|}{1+|x|}dxdt < \infty$ または圧力が無限遠で衰減し、$|v|+|b| \in L^2(0,T;L^q(\mathbb{R}^N))$（$2<q<\frac{2N}{N-1}$）を満たし、圧力符号条件が成り立つならば、$v=b=0$ は almost everywhere で成立する。
• 重み $w(r)$ が可積分でなくても、$w(r) \leq \frac{C}{1+r}$ かつ $w$ が非増加であれば、$L^1$ よりも遅い衰えを許容する。
• Calderón-Zygmund推定により圧力が制御され、$\|p\|_{L^{q/2}} \leq C_q(\|v\|_{L^q}^2 + \|b\|_{L^q}^2)$（$q \in (2,\infty)$）が成り立つ。これにより、証明において $L^q$ 積分性を用いることが可能になる。
• 圧力の調和部は、$p(x,t) \to 0$（$|x| \to \infty$）という衰減仮定のもとで消える。これは、定理1.2および定理3.2の第二のケースにおいて、極めて重要である。