[論文レビュー] Liouville type theorems, a priori estimates and existence of solutions for non-critical higher order Lane-Emden-Hardy equations

Wei Dai, Shaolong Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、特異ポテンシャルを伴う非臨界の高次Lane-Emden-Hardy方程式に対してLiouville定理を確立し、特定の指数および次元の制約のもとで、唯一の非負古典的解は自明（$u \equiv 0$）であることを証明している。局所的な移動平面法と吹き上がり解析を用いて、事前推定を導出し、位相的次数論を用いて有界領域における正の解の存在を証明した。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with the non-critical higher order Lane-Emden-Hardy equations \begin{equation*} (-Δ)^{m}u(x)=\frac{u^{p}(x)}{|x|^{a}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, ext{in} \,\,\, \mathbb{R}^{n} \end{equation*} with $n\geq3$, $1\leq m

研究の動機と目的

• 非臨界の高次Lane-Emden-Hardy方程式に対して、$\mathbb{R}^n$ 上で特異ポテンシャルを伴うLiouville型定理を確立すること。
• Liouville結果を用いて、有界領域における正の解の事前推定を導出すること。
• 位相的次数法を用いて、有界で滑らかな領域における高次Navier問題の正の解の存在を証明すること。
• 臨界順序方程式に関する既存の結果を、一般の$a \in [0, 2m)$および臨界範囲内の$p$を含む非臨界の場合に拡張すること。

提案手法

• 解の対称性および単調性を証明するために、局所的な移動平面法を適用する。
• 大きな局所的値からの矛盾を導くために吹き上がり解析を用いることで、Liouville型の結果を得る。
• ケルビン変換と超多項式的性質を用いて、解の無限遠および原点近傍での挙動を分析する。
• 固有関数との比較および境界層の厚さを用いて、$0 \leq t < C_2$ の範囲で$t$に一様な事前推定を導出する。
• 摂動問題$(-\Delta)^m u = u^p + t$に対して位相的次数論を適用し、解の存在を証明する。
• 正則性理論に依拠して、解$u$が$C^{2m}(\Omega) \cap C^{2m-2}(\overline{\Omega})$に属することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非臨界の高次Lane-Emden-Hardy方程式$(-\Delta)^m u = u^p / |x|^a$は、$1 < p < \frac{n+2m-2a}{n-2m}$ かつ $0 \leq a < 2$ のとき、$\mathbb{R}^n$ 上に非自明な非負解をもつか？
• RQ2 非臨界指数領域において、有界領域における正の解の事前推定は一様に有界であるか？
• RQ3 位相的次数論的手法によって、有界領域における$(-\Delta)^m u = u^p$のNavier問題の正の解の存在は保証されるか？
• RQ4 $2 \leq a < 2m$ の場合、$p$が任意に大きくても結果はどのように拡張されるか？
• RQ5 局所的な移動平面法は、特異的で高次の方程式に対するLiouville型定理の証明において、どのように機能するか？

主な発見

• 条件$n \geq 3$、$1 \leq m < n/2$、$0 \leq a < 2m$、および$0 \leq a < 2$ のとき$1 < p < \frac{n+2m-2a}{n-2m}$、または$2 \leq a < 2m$ のとき$1 < p < \infty$ のもとで、$\mathbb{R}^n$ 上の$(-\Delta)^m u = u^p / |x|^a$の唯一の非負古典的解は$u \equiv 0$である。
• 有界領域における正の解の事前推定は、$0 \leq t < C_2$ において$t$に一様に成り立ち、$n, m, p, C_2, \lambda_1$および$\Omega$に依存する。
• 有界領域におけるNavier問題$(-\Delta)^m u = u^p$の正の解の存在は、位相的次数論を用いて証明され、$\|u\|_{L^\infty(\overline{\Omega})} \leq C_0 + \rho$（$C_0 > 0$）を満たす。
• 吹き上がり列を用いた矛盾の議論に依拠し、極限方程式$(-\Delta)^m v = v^p$の解が$\mathbb{R}^n$ 上に存在するが、Liouville定理によりその解は消える必要がある。
• 事前推定は$[0, C_2)$における$t$に関して一様であるため、次数論的議論におけるコンパクト性が保証される。
• Navier問題の解$u$は$C^{2m}(\Omega) \cap C^{2m-2}(\overline{\Omega})$に属し、その正則性が確認された。