[論文レビュー] Liouville-type theorems on the complete gradient shrinking Ricci solitons

Huabin Ge, Shijin Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非定数の正の $f$-調和関数の非存在を示し、$L^p$ リウビルの定理を導出することで、完全な勾配収縮リッチソリトンに関するリウビル型定理を確立する。バクリー＝エメリーのリッチ曲率の下界と、収縮ソリトンの特殊構造を用いた、$f$-調和関数における精密な局所勾配推定を導出し、ハルナック不等式を導き、多項式体積成長のもとで正の $f$-調和関数は定数でなければならないことを結論づける。

ABSTRACT

We prove that there does not exist non-constant positive $f$-harmonic function on the complete gradient shrinking Ricci solitons. We also prove the $L^{p}(p\geq 1 \ { m or}\ 0

研究の動機と目的

• 完全な勾配収縮リッチソリトンに関するリウビル型定理を確立し、特に非定数の正の $f$-調和関数の非存在を扱う。
• 非負のリッチ曲率をもつ多様体上の調和関数に関する古典的リウビル結果を、非負のバクリー＝エメリーのリッチ曲率をもつ測度多様体上の $f$-調和関数へと拡張する。
• 完全な勾配収縮リッチソリトン上での $f$-サブハーモニックおよび $f$-スーパーハーモニック関数に関する $L^p$ リウビルの定理を導出する。
• 精密な勾配推定を用いて、このようなソリトン上での正の $f$-調和関数に対するハルナック不等式を導出する。
• 収縮ソリトン上での正の $f$-調和関数が部分線形成長または多項式体積成長を示す場合、それが定数であることを証明する。

提案手法

• ${\rm Ric}_f \geq -(n-1)K$ かつ $B_p(2R)$ 上で $|\nabla f| \leq \theta(R)$ を満たす滑らかな測度多様体上での正の $f$-調和関数に対して、新たな局所勾配推定を導出し、$\sup_{B_p(R)} |\nabla \log u| \leq \frac{c(n)}{1-\epsilon}(\frac{1}{R} + \frac{K^{1/4} + \theta(R)^{1/2}}{R^{1/2}}) + \frac{1}{\sqrt{\epsilon(1-\epsilon)}}\theta(R) + \frac{(n-1)\sqrt{K}}{\sqrt{1-\epsilon}}$ を得る。
• この勾配推定を完全な勾配収縮リッチソリトンに適用し、$f$ が距離の二乗関数と同値であることに着目して、$R > C$ に対して $\sup_{B_p(R)} |\nabla \log u| \leq \frac{20n}{R} + 2R + 3C$ を得る。
• 勾配推定から導かれるハルナック不等式 $u(x) \leq u(p) e^{3d(x)^2}$ を用い、$d(x) \geq \max\{2C, 10n\}$ を満たす $x$ に対して適用する。
• 重み付き $L^1$ 積分可能性の議論を適用：正の $f$-調和関数 $u$ に対して、多項式体積成長のもとで $\int_M \log(1+u) e^{-f} dv < \infty$ が成り立ち、$\Delta_f \log(1+u) = 0$ を得る。
• $h = \log(1+u)$ に対して $\Delta_f h = -|\nabla h|^2$ であるという恒等式と、$\Delta_f h = 0$ が $|\nabla h|^2 = 0$ を意味することから、$h$ は定数であり、$u$ も定数であることを示す。
• $L^p$ 情報へと拡張：$p \geq 1$ または $0 < p \leq 1$ のとき、適切な減衰を示す $f$-サブハーモニックまたは $f$-スーパーハーモニック関数は定数であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な勾配収縮リッチソリトン上に非定数の正の $f$-調和関数は存在するか？
• RQ2 $L^p$ 積分可能性または体積成長の条件下で、完全な勾配収縮リッチソリトン上での $f$-調和関数に関するリウビル型定理を確立できるか？
• RQ3 完全な勾配収縮リッチソリトン上での正の $f$-調和関数に対する鋭いハルナック型推定は何か？
• RQ4 ポテンシャル関数 $f$ は収縮ソリトン上での $f$-調和関数の挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 $f$ と体積成長に関するどのような条件下で、重み付き $L^1$ 積分可能性から $f$-調和関数の定数性が導かれるか？

主な発見

• 任意の完全な勾配収縮リッチソリトン上には、非定数の正の $f$-調和関数は存在しない。
• ハルナック不等式が成立する：任意の $x$ に対して $d(x) \geq \max\{2C, 10n\}$ を満たすとき、$u(x) \leq u(p) e^{3d(x)^2}$ が成り立つ。ここで $C$ はソリトンに依存する幾何的定数である。
• $p \geq 1$ または $0 < p \leq 1$ のとき、完全な勾配収縮リッチソリトン上に非負の $f$-サブハーモニック関数または正の $f$-スーパーハーモニック関数が $L^p$ に属するならば、それは定数でなければならない。
• 任意の正の $f$-調和関数 $u$ に対して、$\log(1+u)$ の $f$-ラプラシアンは 0 に等しく、$|\nabla \log u| = 0$ を意味するため、$u$ は定数である。
• $R > C$ のとき、幾何的性質と曲率の下界から導かれる勾配推定 $\sup_{B_p(R)} |\nabla \log u| \leq \frac{20n}{R} + 2R + 3C$ が成り立つ。
• ソリトンの体積成長は高々次数 $n$ の多項式的成長であるため、$\log(1+u)$ が測度 $e^{-f} dv$ に対して積分可能となり、リウビルの結論が得られる。