[論文レビュー] Lipschitz extensions into Jet space Carnot groups

Stefan Wenger, Robert M. Young|ArXiv.org|Nov 4, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、メトリック空間の部分集合からジェット空間カルノー群 $J^k(\mathbb{R}^n)$ への写像について、リプシッツ拡張定理を確立する。この群はヘイゼンベルク群やエンゲル群を含む。単体複体と群のスケーリングによる基本的な構成を用いて、$X$ の部分集合 $Z$ 上で定義された $\lambda$-リプシッツ写像が、$X$ 全体に $C\lambda$-リプシッツに拡張可能であることを証明する。ここで $C$ は $n$ と次元パラメータにのみ依存する。

ABSTRACT

The aim of this article is to prove a Lipschitz extension theorem for partially defined Lipschitz maps to jet spaces endowed with a left-invariant sub-Riemannian Carnot-Carathéodory distance. The jet spaces give a model for a certain class of Carnot groups, including in particular all Heisenberg groups. The proofs or our theorems are rather elementary, they are inspired by ideas in papers of Gromov, Young, and Lang-Schlichenmaier.

研究の動機と目的

• ジェット空間カルノー群へのグロモフのリプシッツ拡張定理を、マイクロフレキシブル性を用いずに、初等的に再証明すること。
• ユークリッド空間や非正曲率空間を超えて、より高次のカルノー群（例：$J^k(\mathbb{R}^n)$）を含む、リプシッツ拡張定理の成立する目標空間のクラスを拡張すること。
• ヘイゼンベルク群に関する既存の結果を、より広いクラスのジェット空間カルノー群（高次ヘイゼンベルク群やフィリフォーム群を含む）に一般化すること。
• 幾何的・メトリック的手法のみを用いて、$J^k(\mathbb{R}^n)$ への部分的に定義されたリプシッツ写像が、どのようにして全空間にリプシッツに拡張可能かの条件を確立すること。
• Lang-Schlichenmaier のリプシッツ $(n-1)$-連結空間の理論と、ジェット空間カルノー群の具体的な構造の間のギャップを、明示的な拡張構成によって埋めること。

提案手法

• 次元が高々 $n$ である抽象単体複体 $\Sigma$ を構成し、$X \setminus Z$ を、$Z$ からの距離に比例する直径を持つ単体に分解する。
• 各点が $Z$ に近い単体に割り当てられるように、$g: X \setminus Z \to \Sigma$ を定義する。これは、重なりが制御されたパーティション・オブ・ユニティを用いる。
• 各 $\Sigma$ の頂点 $e_i$ に対して、$Z$ 内の最近点 $z_i$ を選び、群のスケーリングを用いて $f(z_i)$ を上に持ち上げ、固定された $\varepsilon$-ネットを用いて写像 $\varphi: \Sigma \to J^k(\mathbb{R}^n)$ を定義する。
• 各単体のレベルの偶奇に応じて、$\delta_r$ のスケーリングを用いて $\Sigma$ の像を再スケーリングし、$F$ または $F'$ に合成することで、$\Sigma'$ から $J^k(\mathbb{R}^n)$ への写像 $h: \Sigma' \to J^k(\mathbb{R}^n)$ を定義する。
• 最終的な拡張 $\bar{f} = h \circ g$ を $X \setminus Z$ 上に定義し、$\bar{f}|_Z = f$ と $Z$ に拡張する。
• 群の距離 $d_c$、$f$ のリプシッツ定数、およびスケーリングと単体構造による歪みの上限を用いて、距離を推定することで $\bar{f}$ のリプシッツ連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触多様体へのグロモフのリプシッツ拡張定理を、マイクロフレキシブル性を用いずに、ジェット空間カルノー群に対して再証明可能か？
• RQ2 ドメイン空間 $X$ と部分集合 $Z \subset X$ にどのようなメトリック的条件が課されると、$J^k(\mathbb{R}^n)$ への $\lambda$-リプシッツ写像が $X$ 全体に $C\lambda$-リプシッツに拡張可能か？
• RQ3 ジェット空間カルノー群 $J^k(\mathbb{R}^n)$ は、Lang-Schlichenmaier の意味でリプシッツ $(n-1)$-連結であるか？ もしそうならば、その性質を用いて拡張定理を証明可能か？
• RQ4 $J^k(\mathbb{R}^n)$ の幾何的・代数的性質（例：層状リー代数、スケーリング）は、リプシッツ拡張の構成をどのように容易にするか？
• RQ5 拡張定数 $C$ は次元 $n$ および $X$ と $Z$ の幾何にどのように依存するか？

主な発見

• 任意の $\lambda$-リプシッツ写像 $f: Z \to (J^k(\mathbb{R}^n), d_c)$ は、$X$ 全体に $C\lambda$-リプシッツに拡張可能であり、$C$ は $n$ と $X$ および $Z$ のアッサウド＝ナガタ次元にのみ依存する。
• この結果は、$\dim_{AN}(Z) \leq n-1$ または $\dim_{AN}(X \setminus Z) \leq n$ のとき成立し、次元 $\leq n$ のコンパクトなリーマン多様体を含む。
• 拡張定数 $C$ は固定された $n$ に対して絶対的であり、マイクロフレキシブル性を避けて、幾何的分解と群のスケーリングに依存する。
• 証明は単体複体 $\Sigma$ とスケーリング写像 $\delta_r$ を用い、カルノー＝カルタゴリーディ距離での歪みを制御する。
• Lang-Schlichenmaier の $(n-1)$-連結空間へのリプシッツ拡張アプローチを一般化したが、ジェット空間カルノー群の具体的な構造に適用している。
• この構成は頑健である：任意の次元条件を満たすメトリック空間 $X$ に対して有効であり、同次的ハダール $n$-多様体、$n$ 個の木の積、ランク $n$ のユークリッドビルディングを含む。