[論文レビュー] Lipschitz invariance of walk dimension on connected self-similar sets

Hui Rao, Qingsong Gu|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ベソフ空間の臨界指数β*を用いて定義されるウォーク次元が、アーフォルス正則測度を備えた連結で自己相似的な集合上では、リプシッツ同相変換に関して不変であることを確立している。著者らは、β*がリプシッツ同相写像のもとで保存されることを示し、異なるβ*値をもつ一般化されたシエルピンスキー・ギャスケットはリプシッツ同値でないことを示しており、このようなフラクタルを区別するための新たな不変量を提供している。

ABSTRACT

Walk dimension is an important conception in analysis of fractals. In this paper we prove that the walk dimension of a connected compact set possessing an Alfors regular measure is an invariant under Lipschitz transforms. As an application, we show some generalized Sierpiński gaskets are not Lipschitz equivalent.

研究の動機と目的

• ベソフ空間の臨界指数β*を用いて、連結自己相似フラクタルの新たなリプシッツ不変量を確立すること。
• アーフォルス正則測度空間上でのリプシッツ同相写像のもとでβ*が不変であることを証明すること。
• 異なるウォーク次元をもつ一般化されたシエルピンスキー・ギャスケットがリプシッツ同値ではないことを、この不変量を用いて示すこと。
• 熱核推定とディリクレ型の関数を用いて、臨界指数β*とウォーク次元βを結びつけること。
• リプシッツ同相でない連結自己相似集合を区別するための手法を提供すること。

提案手法

• 局所的L2変動を測る関数 Wσ,M(u) を定義し、ベソフ型空間 Wσ,2(M,d,μ) を構成する。
• β* を、非定数関数を含む Wσ,2 のσの上限として臨界指数として定義する。
• 体積二重性およびポincare型不等式のリプシッツ不変性を用いて、β* がリプシッツ写像のもとで保存されることを示す。
• グリゴリヤン、フー、ロー（2015）の条件を満たす熱核推定を用いて、β* とウォーク次元βの同値性を確立する。
• ディリクレ型と(Δ-Y)変換を用いて、一般化されたシエルピンスキー・ギャスケットのβ*を計算し、抵抗スケーリング定数を導出する。
• 熱核が定理3.1で要請される両側推定を満たすことを検証し、β = β* が成り立つことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーフォルス正則測度空間上でのリプシッツ同相写像のもとで、ベソフ空間の臨界指数β*は不変か？
• RQ2 β* は、リプシッツ同値でない自己相似集合を区別するためのリプシッツ不変量として機能するか？
• RQ3 熱核が弱い条件下で成立する場合、ウォーク次元βはβ*と一致するか？
• RQ4 異なるβ*値をもつ一般化されたシエルピンスキー・ギャスケットは、必然的にリプシッツ同値でないか？
• RQ5 自己相似フラクタル上でのディリクレ型と熱核推定を用いて、ウォーク次元を計算できるか？

主な発見

• 臨界指数β* は、連結でアーフォルス正則な自己相似集合上でリプシッツ写像に関して不変である。
• 熱核が定理3.1の条件を満たす場合、ウォーク次元β は β* に等しい。
• シエルピンスキー・ギャスケット K1 に対して、β* = α + log(5/3)/log(2) ≈ α + 0.737 が成り立つ。
• 一般化ギャスケット K2 に対して、β* = α + log(295/63)/log(8) ≈ α + 0.868 が成り立つ。
• K3 と K4 は IFS の合成によって得られ、β* = α + log(1475/189)/log(16) ≈ α + 0.868 となり、K2 と一致するが K1 とは異なる。
• K1 は β* の値が異なるため、K2、K3、K4 とはリプシッツ同値ではないが、K3 と K4 は β* で区別されず、リプシッツ同値である可能性がある。