[論文レビュー] Lipschitz Normal Embeddings and Determinantal Singularities

Helge Møller Pedersen, María Aparecida Soares Ruas|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、与えられた値未満のランクをもつ $m \times n$ 行列の集合として定義されるモデル行列式特異点—すなわち、内計量と外計量が双リプシッツ同値であることを意味するリプシッツ正規埋め込み—がリプシッツ正規埋め込みであることを証明している。著者らは、従来の位相的アプローチとは対照的に、線形代数と三角法に依存する新しい証明を提示している。また、より広範な条件下での一般行列式特異点への結果の拡張における課題についても議論している。

ABSTRACT

The germ of an algebraic variety is naturally equipped with two different metrics up to bilipschitz equivalence. The inner metric and the outer metric. One calls a germ of a variety Lipschitz normally embedded if the two metrics are bilipschitz equivalent. In this article we prove that the model determinantal singularity, that is the space of $m imes n$ matrices of rank less than a given number, is Lipschitz normally embedded. We will also discuss some of the difficulties extending this result to the case of general determinantal singularities.

研究の動機と目的

• モデル行列式特異点がリプシッツ正規埋め込みであることを確立すること。
• 従来の位相的アプローチとは対照的に、線形代数と三角法に依存する代替的証明を提供すること。
• 一般行列式特異点がリプシッツ正規埋め込みであるかどうかの条件を調査すること。
• モデル特異点からより一般の行列式多様体への結果の拡張における制限要因を分析すること。
• 埋め込まれた行列式特異点（EIDS）および特異点集合が双リプシッツ正規埋め込みを決定する役割を明確にすること。

提案手法

• ユークリッド距離および可 rectifiable 経路長を用いて、埋め込み代数的多様体上の内計量と外計量を定義する。
• 双リプシッツ同値性を用いて二つの計量を比較し、比が一様な定数 $K > 1$ で有界である場合にリプシッツ正規埋め込みが成立することを確立する。
• 行列のランク性質と経路長に対する三角法的推定を用いた直接計算により、主結果を証明する。
• 線形代数的手法を用いて、行列式多様体上の測地線および計量歪みを分析する。
• 層化と円錐構造を用いて、原点付近での特異挙動を分析する。
• 従来の研究（例：[KKKLS16]）と対照的に、円錐的層化と位相的議論に依存する結果を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデル行列式特異点—すなわち、ランクが制限された $m \times n$ 行列の多様体として定義されるもの—はリプシッツ正規埋め込みであるか？
• RQ2 これらの特異点における内計量と外計量の双リプシッツ同値性は、線形代数と三角法のみを用いて証明可能か？
• RQ3 一般行列式特異点へのリプシッツ正規埋め込み性の拡張を妨げる障害は何か？
• RQ4 埋め込み行列式特異点における特異点集合 $X^1$ がリプシッツ正規埋め込みであるとすれば、より高い層 $X^i$ に対しても同様に成り立つか？
• RQ5 定義写像 $F$ にどのような条件を課せば、$F^{-1}(M^t_{m,n})$ が常にリプシッツ正規埋め込みであることが保証されるか？

主な発見

• ランクが高々 $t$ である $m \times n$ 行列からなるモデル行列式特異点 $M^t_{m,n}$ はリプシッツ正規埋め込みである。
• 従来の位相的道具を避けて、初等的な線形代数と三角法的推定に依存する新しい証明が提示されている。
• $M^t_{m,n}$ 上の内計量と外計量は、$m$、$n$、$t$ のみに依存する一様定数 $K$ を用いて双リプシッツ同値である。
• 例示により、特異点集合がリプシッツ正規埋め込みであっても、埋め込み行列式特異点（EIDS）全体がリプシッツ正規埋め込みであるとは限らないことが示された。
• 単純なコhen＝マカウレイのコドメイン2の表面特異点の中で、唯一 $A_{k-1,l-1,m-1}$ 系列（最小特異点に対応）がリプシッツ正規埋め込みであるが、非最小特異点（例：$B_{2l,k-1}$）はそうではない。
• 反例により、一般に行列式特異点に対しては結果が拡張されないことが示された。特異点集合が非双リプシッツ的に埋め込まれる場合があるからである。