[論文レビュー] Lipschitz $p$-convex and $q$-concave maps

Javier Alejandro Chávez‐Domínguez|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、バナッハラティス間の古典的 $p$-凸および $q$-凹線形写像の非線形類似物として、リプシッツ $p$-凸および $q$-凹写像を導入する。$L_p$ 空間を通した非線形因子分解定理を確立し、リプシッツ写像 $T$ が $p$-凸であるための必要十分条件として、その線形化 $ ilde{T}$ が $p$-凸であること、および $p$-凸および $q$-凹バナッハラティスを通した因子分解による特徴づけを示す。これは、レイノーとトライダセーテの結果をリプシッツ設定に拡張するものである。

ABSTRACT

The notions of $p$-convexity and $q$-concavity are mostly known because of their importance as a tool in the study of isomorphic properties of Banach lattices, but they also play a role in several results involving linear maps between Banach spaces and Banach lattices. In this paper we introduce Lipschitz versions of these concepts, dealing with maps between metric spaces and Banach lattices, and start by proving nonlinear versions of two well-known factorization theorems through $L_p$ spaces due to Maurey/Nikishin and Krivine. We also show that a Lipschitz map from a metric space into a Banach lattice is Lipschitz $p$-convex if and only if its linearization is $p$-convex. Furthermore, we elucidate why there is such a close relationship between the linear and nonlinear concepts by proving characterizations of Lipschitz $p$-convex and Lipschitz $q$-concave maps in terms of factorizations through $p$-convex and $q$-concave Banach lattices, respectively, in the spirit of the work of Raynaud and Tradacete.

研究の動機と目的

• メトリック空間とバナッハラティス間の非線形 $p$-凸および $q$-凹写像理論を構築すること。
• ムーレーおよびニキシン、およびクリヴィンの古典的線形因子分解定理をリプシッツ設定に拡張すること。
• リプシッツ $p$-凸性と写像の線形化の $p$-凸性との間の正確な対応関係を確立すること。
• それぞれの $p$-凸および $q$-凹バナッハラティスを通した因子分解を通じて、リプシッツ $p$-凸および $q$-凹写像を特徴づけること。
• 両方の性質 $p$-凸および $q$-凹をもつ写像について、リプシッツ版のレイノー＝トライダセーテ因子分解結果の可能性を検討すること。

提案手法

• 有限個の絶対値の和にそれぞれ $p$ および $q$ 乗をとるノルム不等式を用いて、リプシッツ $p$-凸および $q$-凹写像の概念を導入する。
• メトリック空間 $X$ からバナッハラティス $E$ へのリプシッツ写像の線形化を可能にするために、アラーンズ＝イーリング空間 ${\mathscr{F}}(X)$ を用いる。
• リプシッツ写像 $T$ が $p$-凸であることと、その線形化 $ ilde{T}$ が $p$-凸であることとは同値であることを証明し、線形理論と非線形理論の間の根本的な橋渡しを確立する。
• $L_p$ 空間を通した非線形因子分解定理を適用し、ムーレー／ニキシンおよびクリヴィンの因子分解結果をリプシッツ文脈に一般化する。
• レイノーおよびトライダセーテの精神に従い、それぞれの $p$-凸および $q$-凹バナッハラティスを通した因子分解を通じて、リプシッツ $p$-凸および $q$-凹写像を特徴づける。
• レイノー＝トライダセーテ因子分解の推測的リプシッツ版を提示し、$p_0 < p$ および $q_0 > q$ のようにわずかに調整された凸性および凹性指数を持つ中間空間を通した因子分解を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ムーレー／ニキシン因子分解定理は、メトリック空間とバナッハラティス間のリプシッツ写像へ拡張可能か？
• RQ2 メトリック空間からバナッハラティス $E$ へのリプシッツ写像 $T$ が $p$-凸であるための必要十分条件は、その線形化 $ ilde{T}$ が $p$-凸であることか？
• RQ3 リプシッツ $p$-凸写像に続くリプシッツ $q$-凹写像の合成は、$L_p$ 空間を通じて因子分解可能か？これはクリヴィンの定理をリプシッツ圏に一般化する。
• RQ4 リプシッツ $p$-凸および $q$-凹写像は、それぞれ $p$-凸および $q$-凹バナッハラティスを通じた因子分解によって特徴づけられるか？
• RQ5 両方の性質 $p$-凸および $q$-凹をもつ写像について、指数 $p_0 < p$ および $q_0 > q$ をもつ空間を通じた因子分解を可能にするリプシッツ版のレイノー＝トライダセーテ因子分解結果は存在するか？

主な発見

• メトリック空間からバナッハラティスへのリプシッツ写像 $T$ がリプシッツ $p$-凸であることと、その線形化 $ ilde{T}$ が $p$-凸であることとは同値であり、線形および非線形設定の間の正確な対応関係を確立する。
• 本稿では、ムーレー／ニキシン因子分解定理の非線形版を証明し、リプシッツ $p$-凸写像が $p$-凸性定数に依存する定数で $L_p$ 空間を通じて因子分解可能であることを示す。
• リプシッツ $p$-凸写像に続くリプシッツ $q$-凹写像の合成は $L_p$ 空間を通じて因子分解可能であり、これはクリヴィンの定理をリプシッツ圏に一般化する。
• リプシッツ $p$-凸および $q$-凹写像は、それぞれ $p$-凸および $q$-凹バナッハラティスを通じた因子分解によって特徴づけられ、レイノーとトライダセーテの研究を非線形設定に拡張する。
• 指数 $1<q<p<\infty$ に対して、$L_p(0,1)\to L_q(0,1)$ の自然包含写像 $i_{p,q}$ はリプシッツ $q$-凹かつリプシッツ $p$-凸ではあるが、リプシッツ $q$-凹写像とリプシッツ $p$-凸写像の合成として因子分解できないことが示され、単純な因子分解スキームの限界を示唆する。
• レイノー＝トライダセーテ因子分解の推測的リプシッツ版を提示し、両方の性質 $p$-凸および $q$-凹をもつ写像が、$p_0 < p$ および $q_0 > q$ のように調整された指数をもつ空間を通じて因子分解可能である可能性を示唆するが、複素補間がリプシッツ写像と整合しないことから、このような結果は未解決のままである。