[論文レビュー] Lipschitz spaces generated by the Sobolev-Poincaré inequality and extensions of Sobolev functions

Pavel Shvartsman|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2013

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$p > n$ のとき、均質ソボレフ空間 $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ が、特定の距離 $d$ によって誘導されるリプシッツ空間に由来する $C^{m,(d)}(\bbR^n)$ 空間の和集合として表現可能であることを確立する。$E \subset \bbR^n$ である任意の閉集合への $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ のトレースの内挿的特徴づけを、ソボレフ＝ポワンカレ不等式の距離に基づく再定式化を通じて、古典的ウィットニー拡張定理をソボレフ空間へ一般化する。

ABSTRACT

Let $d$ be a metric on $R^n$ and let $C^{m,(d)}(R^n)$ be the space of $C^m$-function on $R^n$ whose partial derivatives of order $m$ belong to the space $Lip(R^n;d)$. We show that the homogeneous Sobolev space $L^{m+1}_p(R^n),p>n,$ can be represented as a union of $C^{m,(d)}(R^n)$-spaces where $d$ belongs to a family of metrics on $R^n$ with certain "nice" properties. This enables us in several important cases to give intrinsic characterizations of the restrictions of Sobolev spaces to arbitrary closed subsets of $R^n$. In particular, we generalize the classical Whitney extension theorem for the space $C^m(R^n)$ to the case of the Sobolev space $L^m_p(R^n)$ whenever $m\ge 1$ and $p>n$.

研究の動機と目的

• 任意の閉集合 $E \subset \bbR^n$ に対して、$p > n$ のとき $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ の制限の内挿的特徴づけを提供すること。
• $m \geq 1$ かつ $p > n$ のとき、$C^m(\bbR^n)$ からソボレフ空間 $L_p^m(\bbR^n)$ へ古典的ウィットニー拡張定理を一般化すること。
• $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ が、ソボレフ＝ポワンカレ不等式から導かれる距離 $d$ を用いて $C^{m,(d)}(\bbR^n)$ 空間の和集合として表現可能であることを示すこと。
• 古典的ウィットニー拡張作用素の普遍性を、$L_p^1(\bbR^n)$ のスケールにおいて、距離変換されたリプシッツ条件と結びつけること。

提案手法

• 修正されたソボレフ＝ポワンカレ不等式を介して、$\bbR^n$ 上の距離 $d$ の族を、勾配の $L_p$ ノルムから導出する。
• $|\nabla F|$ の局所的 $L^q$ 平均に基づく擬距離 $\delta_q(x,y;h)$ を定義し、$F \in L_p^1(\bbR^n)$、$p > n$ のとき $|F(x) - F(y)|$ を上から抑える。
• $L_p^1(\bbR^n)$ が、このような距離 $d$ の族を走る $\operatorname{Lip}(\bbR^n; d)$ の和集合と一致することを証明し、内挿的トレース特徴づけを可能にする。
• ウィットニー立方体分割とダイアディックツリー構造を用いて、立方体上での導関数の変動を制御し、それらを勾配の $L_p$ ノルムと関連付ける。
• ウィットニー立方体上でのジェット導関数の差のsummabilityに基づく $F \in L_p^m(\bbR^n)$ のための基準を確立する。
• 距離に基づくリプシッツ制御を用いて、関数を $E$ から $\bbR^n$ に拡張するウィットニー拡張作用素を適用し、$L_p^m$ ノルムを保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p > n$ のとき、任意の閉集合 $E \subset \bbR^n$ に対して、トレース空間 $L_p^{m+1}(\bbR^n)|_E$ は内挿的に特徴づけられるか？
• RQ2 古典的ウィットニー拡張作用素は、$\operatorname{Lip}(E)$ から $\operatorname{Lip}(\bbR^n)$ への線形的連続拡張を提供するが、$p > n$ のとき $L_p^1(\bbR^n)$ に属する関数を保存するか？
• RQ3 ソボレフ空間 $L_p^{m+1}(\bbR^n)$ は、特定の幾何的性質を持つ距離 $d$ の族に対して、$C^{m,(d)}(\bbR^n)$ 空間の和集合として表現可能か？
• RQ4 修正されたソボレフ＝ポワンカレ不等式は、$L_p^1(\bbR^n)$ 関数の変動を制御する距離を生成する役割を果たすか？
• RQ5 距離に基づくリプシッツ条件を用いて、ウィットニー拡張作用素を $m \geq 1$、$p > n$ のとき $L_p^m(\bbR^n)$-ノルムを保存するようにどのように適合できるか？

主な発見

• $p > n$ のとき、$L_p^1(\bbR^n)$ は、$|\nabla F|$ の局所的 $L^q$-平均から生じる距離 $d$ の族を走るリプシッツ空間 $\operatorname{Lip}(\bbR^n; d)$ の和集合と等長同型である。
• 任意の $F \in L_p^1(\bbR^n)$、$p > n$ に対して、$h \in L_p(\bbR^n)$ が存在し、$|F(x) - F(y)| \leq \delta_q(x,y;h)$ を満たす。ここで $\delta_q$ は $h^q$ の立方体平均に基づき定義され、$\|h\|_{L_p} \leq C(n,p,q)\|F\|_{L_p^1}$ が成り立つ。
• 古典的ウィットニー拡張作用素は、$\operatorname{Lip}(E)$ から $\operatorname{Lip}(\bbR^n)$ への線形的連続拡張を提供し、$p > n$ のとき $L_p^1(\bbR^n)$ へ拡張可能であり、$L_p$-ノルムを定数倍の範囲で保存する。
• トレース空間 $L_p^{m+1}(\bbR^n)|_E$ は、ウィットニー立方体上でのジェット差のsummabilityを用いた内挿的特徴づけを備え、$L_p^m(\bbR^n)$-ノルムはパrameter $\lambda$ によって制御される。
• 隣接するウィットニー立方体上での $m$ 階微分のジェット差が、$\lambda^{1/p}$ を含むsummability条件を満たす限り、拡張作用素は $L_p^m(\bbR^n)$-ノルムを保存する。
• 証明により、$F \in L_p^m(\bbR^n)$ であるための必要十分条件は、距離に基づく変動条件を介した勾配の $L_p$-ノルムの制御であることが示され、古典的ウィットニー拡張定理がソボレフ空間へ一般化される。