[論文レビュー] Lipschitz stability in an inverse problem for the wave equation

Lucie Baudouin|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2011

Numerical methods in inverse problems参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、波動方程式における逆問題について、Lipschitz安定性を確立する。方程式 $ \partial_{tt}u - \Delta u + p(x)u = 0 $ におけるポテンシャル $ p(x) $ は、境界 $ \partial\Omega $ の部分集合 $ \Gamma_0 \subset \partial\Omega $ における法線微分 $ \partial_\nu u $ の測定値から一意かつ安定に再構成可能である。主な結果は、グローバル・カルレマン推定を用いて得られ、$ \Gamma_0 $ および観測時間 $ T $ における幾何的条件のもとで安定性が保証され、データの正則性および初期データの下界に明示的な依存関係を示す。

ABSTRACT

We are interested in the inverse problem of the determination of the potential $p(x), x\inΩ\subset\mathbb{R}^n$ from the measurement of the normal derivative $\partial_νu$ on a suitable part $Γ_0$ of the boundary of $Ω$, where $u$ is the solution of the wave equation $\partial_{tt}u(x,t)-Δu(x,t)+p(x)u(x,t)=0$ set in $Ω imes(0,T)$ and given Dirichlet boundary data. More precisely, we will prove local uniqueness and stability for this inverse problem and the main tool will be a global Carleman estimate, result also interesting by itself.

研究の動機と目的

• 波動方程式におけるポテンシャル $ p(x) $ を、法線微分 $ \partial_\nu u $ の境界測定値から局所的Lipschitz安定性を確立すること。
• 観測領域 $ \Gamma_0 $ および観測時間 $ T $ における幾何的条件のもとで、一意性および安定性の結果を証明すること。再構成に十分な情報が得られることを保証する。
• コンパクト性・一意性の議論を避けるために、グローバル・カルレマン推定を直接用いて安定性を証明すること。
• 解の正則性に関する仮定を弱め、全境界ではなく部分境界 $ \Gamma_0 $ での測定で十分であることを示すこと。

提案手法

• 波動作用素 $ \partial_{tt} - \Delta + q(x) $ に対して、$ x_0 \notin \Omega $ である点 $ x_0 $ に依存する重み関数 $ \varphi $ を用いたグローバル・カルレマン推定を導出する。$ \varphi $ は $ |x - x_0|^2 $ および時間 $ t $ に依存する。
• 逆問題の線形化版にカルレマン推定を適用する。このとき、解 $ u $ は同次初期・境界条件を満たし、源項 $ f(x)R(x,t) $ によって駆動される。
• 空間的および時間的局在化を可能にするために、切断関数 $ \chi $ を用いる。これにより、エネルギーおよびフラックス項の制御が可能になる。
• カルレマン推定を用いて、境界フラックス $ \partial_\nu u $ における $ \Gamma_0 \times (0,T) $ 上での重み付き $ L^2 $-ノルムを用いて、源項 $ f $ の重み付き $ L^2 $-ノルムを推定する観測型不等式を確立する。
• エネルギー推定および重み関数の性質を用いて、低次の項を吸収し、$ \|f\|_{L^2} $ と境界測定値 $ \|\partial_\nu u\|_{L^2(\Gamma_0 \times (0,T))} $ の間の最終的な不等式を導出する。
• 最終的に、Lipschitz安定性推定 $ \|f\|_{L^2(\Omega)} \leq C \|\partial_\nu u\|_{L^2(\Gamma_0 \times (0,T))} $ を得る。ここで $ C $ は $ m, T, K, r $ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測時間 $ T $ が十分に長い場合、波動方程式におけるポテンシャル $ p(x) $ は、境界の部分集合 $ \Gamma_0 \subset \partial\Omega $ における法線微分 $ \partial_\nu u $ の測定値から一意に特定可能か？
• RQ2 境界フラックスの差 $ \partial_\nu y[q] - \partial_\nu y[p] $ の $ L^2 $-ノルムを用いて、$ q - p $ の $ L^2 $-ノルムをバインドするLipschitz安定性推定を確立することは可能か？
• RQ3 グローバル・カルレマン推定により、正則性の仮定を弱め、全境界ではなく部分境界 $ \Gamma_0 $ での測定で十分な安定性結果を得られるか？
• RQ4 $ \Gamma_0 $ および $ T $ に対して、どのような幾何的および時間的条件下で、波動方程式の逆問題は局所的Lipschitz安定性を示すか？
• RQ5 安定性定数がデータの正則性および初期データの下界に明示的に依存する形で推定可能か？

主な発見

• 本稿では、逆問題の局所的Lipschitz安定性を証明する。$ q, p \in L^\infty_{\leq m}(\Omega) $ に対して、$ \|q - p\|_{L^2(\Omega)} $ は、$ \|\partial_\nu y[q] - \partial_\nu y[p]\|_{H^1(0,T;L^2(\Gamma_0))} $ の定数倍で抑えられる。定数 $ C = C(m, T, K, r) $ は、$ L^\infty $-有界性 $ m $、時間 $ T $、解の正則性 $ K $、初期データの下界 $ r $ に依存する。
• 安定性結果は、次のように幾何的条件のもとで成立する：ある点 $ x_0 \notin \Omega $ が存在し、$ \Gamma_0 \supset \{x \in \partial\Omega : (x - x_0) \cdot \nu(x) \geq 0\} $ を満たし、$ T > \sup_{x \in \Omega} |x - x_0| $ である。
• 証明は、波動作用素に対するグローバル・カルレマン推定に依存しており、これにより全境界ではなく部分境界 $ \Gamma_0 $ での測定値を用いることが可能になる。
• 従来の研究で用いられるコンパクト性・一意性の議論を避けることで、カルレマン推定から直接的に安定性を証明する。
• カルレマン推定は、初期および境界条件がゼロである線形化問題に適用され、源項 $ f(x)R(x,t) $ が境界フラックス $ \partial_\nu u $ から回復可能である。
• 最終的な安定性推定は、$ \|f\|_{L^2(\Omega)} \leq C \|\partial_\nu u\|_{L^2(\Gamma_0 \times (0,T))} $ として得られ、$ C $ は $ m, T, K, r $ に依存する。この結果は、線形化を用いる非線形逆問題へも拡張可能である。