[論文レビュー] List-coloring apex-minor-free graphs

Zdenĕk Dvořák, Robin Thomas|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$H$ が $t$-apex である $(t+3)$-連結な $H$-minor-free グラフに対する多項式時間アルゴリズムを提示する。ここで、各頂点のリストサイズは $t+4$ 以上である。主な結果として、このクラスにおいて $k$-list-colorability は $k \geq t+4$ のとき多項式時間で決定可能であることが示され、連結性またはリストサイズを減少させた場合の NP-完全性により、そのタイトさが確認されている。

ABSTRACT

A graph H is t-apex if H-X is planar for some subset X of V(H) of size t. For any integer t>=0 and a fixed t-apex graph H, we give a polynomial-time algorithm to decide whether a (t+3)-connected H-minor-free graph is colorable from a given assignment of lists of size t+4. The connectivity requirement is the best possible in the sense that for every t>=1, there exists a t-apex graph H such that testing (t+4)-colorability of (t+2)-connected H-minor-free graphs is NP-complete. Similarly, the size of the lists cannot be decreased (unless P=NP), since for every t>=1, testing (t+3)-list-colorability of (t+3)-connected K_{t+4}-minor-free graphs is NP-complete.

研究の動機と目的

• 固定の $t$-apex minor を除外するグラフに対する list-coloring の計算複雑度を特定すること。
• 多項式時間決定可能性を保証する最小の連結性およびリストサイズの閾値を同定すること。
• 連結性またはリストサイズを減少させた場合の NP-完全性を示すことにより、これらの閾値のタイトさを証明すること。
• 平面的および表面埋め込みグラフに関する既知の結果を、より広いクラスの $t$-apex-minor-free グラフへと拡張すること。

提案手法

• $H$ が $t$-apex である $H$-minor-free グラフの構造的分解定理（tangle および vortices を用いて）を活用する。
• tangle を用いたグラフの領域（社会および細胞）への分離を行い、vortex および細胞構造を制御する。
• respectful tangles および中心的分離を用いて、問題の構造を隔離し、連結性を制御する。
• 頂点における再帰的 $t$-拡張を用いて構造を精緻化し、$H$-minor の回避が保たれることを保証する。
• 構造的グラフ理論（例：tangle 分解、vortex 分解）の結果と list-coloring のアルゴリズム的手法を統合する。
• 制御された分解により list-coloring 問題を有界 treewidth の部分問題に還元し、動的計画法を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $H$-minor-free グラフのクラスにおいて $k$-list-coloring が多項式時間で決定可能か？
• RQ2 $H$-minor-free グラフにおいて多項式時間解法を保証するための最小の連結性およびリストサイズは何か？
• RQ3 連結性およびリストサイズの境界を、問題が NP 完全でなくなる範囲でさらに厳しくできるか？
• RQ4 $t$-apex グラフの構造は、minor-閉じた族における list-coloring の複雑度にどのように影響するか？
• RQ5 $H$-minor-free グラフにどのような構造的性質が、効率的な list-coloring アルゴリズムの実現を可能にするか？

主な発見

• $(t+3)$-連結な $H$-minor-free グラフに対して、すべての頂点 $v$ について $|L(v)| \geq t+4$ のとき、$L$-可染可能性を決定する多項式時間アルゴリズムが提示された。
• このアルゴリズムは任意の固定された $t$-apex グラフ $H$ に対して有効であり、平面的および表面埋め込みグラフに対する既知の結果を一般化する。
• 連結性要件 $t+3$ はタイトである：任意の $t \geq 1$ に対して、$(t+2)$-連結な $H$-minor-free グラフの $(t+4)$-list-colorability をテストすることは NP 完全である。
• リストサイズ $t+4$ に対してもタイトである：$(t+3)$-連結な $K_{t+4}$-minor-free グラフの $(t+3)$-list-colorability をテストすることは NP 完全である。
• この結果により、任意の固定された表面 $\Sigma$ に埋め込まれた $4$-連結グラフに対する $5$-list-coloring は多項式時間で決定可能であるが、これは以前の結果より弱い。
• 連結性を $t+2$ に緩和すると、$H$ が $t$-apex であっても NP 完全性が生じることを示すために、$(t,c)$-apex-free と呼ばれる新しいグラフクラスが導入された。