[論文レビュー] Listing All Maximal Cliques in Large Sparse Real-World Graphs

David Eppstein, Darren Strash|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2011

Complex Network Analysis Techniques参考文献 34被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、Eppstein, Löffler, Strashの理論的枠組みに基づき、大規模なスパースな実世界のグラフにおけるすべての最大クリークを列挙する実用的で線形空間のアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、隣接行列の保存を避けることで、スパースなグラフにおいて広く使われているTomitaらのアルゴリズムを実用的に上回り、退化度に基づくパrameterizationにより近似的に最適な性能を達成するが、密度の高いグラフに対しても依然として効率的である。

ABSTRACT

We implement a new algorithm for listing all maximal cliques in sparse graphs due to Eppstein, Löffler, and Strash (ISAAC 2010) and analyze its performance on a large corpus of real-world graphs. Our analysis shows that this algorithm is the first to offer a practical solution to listing all maximal cliques in large sparse graphs. All other theoretically-fast algorithms for sparse graphs have been shown to be significantly slower than the algorithm of Tomita et al. (Theoretical Computer Science, 2006) in practice. However, the algorithm of Tomita et al. uses an adjacency matrix, which requires too much space for large sparse graphs. Our new algorithm opens the door for fast analysis of large sparse graphs whose adjacency matrix will not fit into working memory.

研究の動機と目的

• 大規模なスパースな実世界のグラフにおけるすべての最大クリークを列挙する実用的でメモリ効率の良いアルゴリズムの不足を解消すること。
• 隣接行列に依存するTomitaらのアルゴリズムが大規模なグラフでは実行不可能になるメモリのボトルネックを克服すること。
• 退化度に基づく再帰と動的グラフデータ構造を用いた新しいアルゴリズムを実装・評価し、理論的効率と実用的高速性の両方を達成すること。
• 新しいアルゴリズムが、特にスパースなグラフにおいてTomitaらのアルゴリズムと同等の性能を示し、線形空間しか使用しないことを実証すること。
• Moon–MoserとDIMACSベンチマークを含む多様な実世界および合成グラフを用いた実験的検証を通じて、スパース入力における性能優位性を確立すること。

提案手法

• Eppstein–Löffler–Strashのアルゴリズムを実装し、再帰的クリーク列挙中に隣接関係を維持するための動的グラフデータ構造を用いる。
• スパース性の指標として退化度を活用し、クリーク数と退化度に比例する近似的に最適な最悪計算量を保証する。
• Tomitaらと同様のピボット戦略を採用し、再帰的分岐を最小限に抑えることで実用的性能を向上させる。
• 隣接行列ではなく、頂点集合と動的隣接構造を用いて部分問題を表現することで、空間計算量をO(n + m)に削減する。
• 再帰処理中の近隣探索および集合演算に効率的なデータ構造を最適化する。
• 3つの変種と比較する：元のTomitaら（行列ベース）、隣接リストを用いた変更版Tomita、および静的頂点リストを用いた新しいアルゴリズムの簡略版。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 理論的に効率的で、退化度にパrameter化された最大クリーク列挙アルゴリズムが、大規模なスパースなグラフにおいて広く使われているTomitaらのアルゴリズムと同等の実用的性能を達成できるか？
• RQ2 隣接行列の保存を避けて動的グラフデータ構造を採用することで、行列ベースの手法では処理できないほど大きなスパースなグラフにスケーリング可能になるか？
• RQ3 新しいアルゴリズムの性能は、多様な実世界および合成グラフタイプにおいてTomitaらおよびその隣接リスト変種と比べてどの程度か？
• RQ4 密度の高いグラフにおいて、新しいアルゴリズムの性能はTomitaらと比べてどの程度劣化するか？また、小さな定数係数の範囲内に収まるか？
• RQ5 指数的クリーク数を持つMoon–Moserグラフやその他の難易度の高いインスタンスを、実用的に効率的に処理できるか？

主な発見

• 本稿の新しいアルゴリズムは、コロナの最もスパースなランダムグラフにおいて、Tomitaらのアルゴリズムを最大30倍速く、スパースな領域における顕著な速度優位性を示した。
• 51頂点、12900万個の最大クリークを有するMoon–Moserグラフでは、新しいアルゴリズムが67.28秒で実行されたのに対し、maxdegree変種は150.02秒、Tomitaらは198.06秒であった。
• c-fat200-5グラフ（200頂点、8,473辺）では、新しいアルゴリズムがTomitaらの100倍速く（0.01秒対0.04秒）であり、スパースで構造的なグラフにおける効率性を強力に示した。
• p_hat300-2（300頂点、21,928辺）のような密度の高いグラフでは、新しいアルゴリズムはTomitaらより約1.5倍遅かったが、依然として小さな定数係数の範囲内であった。
• Tomitaらの隣接リスト変種は、一部のグラフではわずかに速かったが、他のグラフでは著しく遅く、信頼性に欠けるのに対し、新しいアルゴリズムは一貫した性能を示した。
• 新しいアルゴリズムの線形空間使用量のおかげで、主記憶装置に収まらない大きさの隣接行列を持つグラフに対しても処理が可能となり、行列ベース手法では処理不能だった大規模スパースネットワークの解析が可能になった。