[論文レビュー] Littelmann path model for geometric crystals, Whittaker functions on Lie groups and Brownian motion

Reda Chhaibi|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2013

Bayesian Methods and Mixture Models被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、複素単純リー群における幾何的水晶のためのLittelmannパスモデルを確立し、ウィener測度と全正性を用いて自然な測度を構成することで、表現論と確率論を結びつける。この測度のラプラス変換としてWhittaker関数が得られ、それらが組合せ的水晶における特徴関数を一般化し、幾何的設定においてDuistermaat-Heckman測度とLittlewood-Richardson規則を回復する。

ABSTRACT

Generally speaking, this thesis focuses on the interplay between the representations of Lie groups and probability theory. It subdivides into essentially three parts. In a first rather algebraic part, we construct a path model for geometric crystals in the sense of Berenstein and Kazhdan, for complex semi-simple Lie groups. We will mainly describe the algebraic structure, its natural morphisms and parameterizations. The theory of total positivity will play a particularly important role. Then, we anticipate on the probabilistic part by exhibiting a canonical measure on geometric crystals. It uses as ingredients the superpotential for the flag manifold and a measure invariant under the crystal actions. The image measure under the weight map plays the role of Duistermaat-Heckman measure. Its Laplace transform defines Whittaker functions, providing an interesting formula for all Lie groups. Then it appears clearly that Whittaker functions are to geometric crystals, what characters are to combinatorial crystals. The Littlewood-Richardson rule is also exposed. Finally we present the probabilistic approach that allows to find the canonical measure. It is based on the fundamental idea that the Wiener measure will induce the adequate measure on the algebraic structures through the path model. In the last chapter, we show how our geometric model degenerates to the continuous classical Littelmann path model and thus recover known results. For example, the canonical measure on a geometric crystal of highest weight degenerates into a uniform measure on a polytope, and recovers the parameterizations of continuous crystals.

研究の動機と目的

• 複素単純リー群における幾何的水晶のためのLittelmannパスモデルの構築。
• 超ポテンシャルと水晶作用の不変性を用いて、幾何的水晶上の自然な測度の構成。
• この測度のラプラス変換がすべてのリー群でWhittaker関数を与えることの証明。
• Whittaker関数が、組合せ的水晶における特徴関数と同様の役割を幾何的水晶で果たすことを示すこと。
• 古典的連続パスモデルへの退化を用いて、既知の結果（Littlewood-Richardson規則、多面体上の一様測度など）を回復すること。

提案手法

• BerensteinとKazhdanの枠組みを用い、全正性に注目して幾何的水晶のパスモデルを構築する。
• 旗多様体上の超ポテンシャルと水晶作用の不変性を用いて、幾何的水晶上の自然な測度を定義する。
• 重み写像を用いて測度を射影し、その像がDuistermaat-Heckman型測度に一致することを特定する。
• Whittaker関数をこの測度のラプラス変換として導出し、すべてのリー群に適用可能な普遍的公式を確立する。
• パス上のウィナー測度を用いて、幾何的水晶上の自然な測度を誘導し、確率論的構造と代数的構造を結びつける。
• 幾何的モデルが連続的古典的Littelmannパスモデルに退化することを示し、既知の結果を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてLittelmannパスモデルを複素単純リー群における幾何的水晶へ拡張できるか？
• RQ2 全正性と不変性を用いて、幾何的水晶に自然に生じる測度は何か？
• RQ3 すべてのリー群において、Whittaker関数がこの測度のラプラス変換としてどのように現れるか？
• RQ4 Whittaker関数は、幾何的水晶の文脈で、特徴関数をどのように一般化するか？
• RQ5 幾何的モデルはどのように古典的連続パスモデルに退化し、どのような既知の結果が回復されるか？

主な発見

• 幾何的水晶上の自然な測度は、旗多様体上の超ポテンシャルと水晶作用の不変性を用いて構成される。
• この測度の重み写像による像は、シンプレクティック幾何学における既知の結果を一般化するDuistermaat-Heckman測度に一致する。
• Whittaker関数が自然な測度のラプラス変換として得られ、すべての複素単純リー群に適用可能な普遍的公式が得られる。
• Whittaker関数は、幾何的水晶において、組合せ的水晶における特徴関数と同様の役割を果たす。
• 幾何的水晶の構造とその測度を用いて、Littlewood-Richardson規則が回復される。
• 幾何的モデルが連続的古典的Littelmannパスモデルに退化することで、多面体上の一様測度と連続的水晶の既知のパrameter化が回復される。