[論文レビュー] Little q-Legendre polynomials and irrationality of certain Lambert series

Walter Van Assche|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2001

Mathematical functions and polynomials参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、little $q$-Legendre多項式とPadé近似に基づく有理近似を用いて、$h_p(1)$ や $\ln_p(2)$ などの特定の $q$-Lambert級数の無理数性を示す新しい手法を提案する。正規直交多項式理論と数論的解析を用いて、$\ln_p(2)$ の無理数性測度に対するより鋭い上界 $3.36295$ を得ており、以前の結果を上回りつつ、$h_p(1)$ については既知の最良の境界と一致する。

ABSTRACT

We show how one can obtain rational approximants for $q$-extensions of the harmonic series and the logarithm (and many other similar quantities) by Padé approximation using little $q$-Legendre polynomials and we show that properties of these orthogonal polynomials indeed prove the irrationality, with an upper bound of the measure of irrationality which is as sharp as the upper bound given by Bundschuh and Väänänen for the harmonic series and a better upper bound than the one given by Matala-aho and Väänänen for the logarithm.

研究の動機と目的

• 正規直交多項式を用いた $q$-調和級数および $q$-対数関数の無理数性を証明するための新しい手法を開発すること。
• Matala-aho や Vänänen らの結果を上回る、$\ln_p(2)$ の無理数性測度の上界を改善すること。
• little $q$-Legendre多項式が、Padé近似を介して $q$-Lambert級数に対する効果的な有理近似を生成することを示すこと。
• 有理数 $c$ を用いた形 $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{cp^k - 1}$ の一般化されたLambert級数に対してもこの手法を拡張すること。
• $q$-正規直交多項式と漸近解析を用いた既存の無理数性証明を統合・強化すること。

提案手法

• little $q$-Legendre多項式 $P_n(x|q)$ を用いたPadé近似に基づき、$h_p(1)$ および $\ln_p(2)$ の有理近似を構築する。
• 指数的格子 $\{q^k\}$ 上における $P_n(x|q)$ の直交性および漸近的性質を用いて、近似誤差の上限を導出する。
• 有理数 $c$ を用いて、$P_n(cp^n|q)$ および $Q_n(cp^n|q)$ の整数係数線形結合として定義される列 $a_n$ と $b_n$ を、$b^{2n}d_n(p)(c;p)_n$ でスケーリングする。
• 補題1を適用して、$b_n \in \mathbb{N}$ かつ $a_n \in \mathbb{Z}$ であることを示し、$|b_n x - a_n| \to 0$ を得ることで無理数性を証明する。
• 漸近的成長率 $\lim_{n\to\infty} |b_n x - a_n|^{1/n^2} = p^{-\frac{3(\pi^2-4)}{2\pi^2}} < 1$ を確立し、無理数性測度を評価する。
• 不等式 $|x - a_n/b_n| = \mathcal{O}(1/b_n^{1 + \frac{\pi^2-4}{\pi^2+4} - \epsilon})$ を導出し、$r \leq \frac{2\pi^2}{\pi^2 - 4}$ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 little $q$-Legendre多項式は、$h_p(1)$ や $\ln_p(2)$ のような $q$-Lambert級数に対して、効果的な有理近似を構築するために用いられるか？
• RQ2 この手法を用いた場合、$\ln_p(2)$ の無理数性測度の上界は何か？ また、それ以前の結果と比べてどうなるか？
• RQ3 この手法は、有理数 $c$ を用いた形 $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{cp^k - 1}$ の他のLambert級数に対しても一般化可能か？
• RQ4 $P_n(x|q)$ から導かれる近似の漸近的性質は、無理数性の証明にどのように寄与するか？
• RQ5 このアプローチは、Amdeberhan や Zeilberger の $q$-WZペア法よりも、$\ln_p(2)$ の無理数性測度を鋭くするか？

主な発見

• 本手法により、$\ln_p(2)$ の無理数性測度の上界は $\frac{2\pi^2}{\pi^2 - 4} \approx 3.36295$ に達し、Matala-aho や Vänänen らの結果（3.9461）を上回る。
• $h_p(1)$ については、$1 + \frac{\pi^2 + 2}{\pi^2 - 2} \approx 2.50828$ という既知の最良の上界を再現しており、Bundschuh と Vänänen の結果と一致する。
• $\ln_p(2)$ の無理数性は、漸近的減衰 $|b_n \ln_p(2) - a_n|^{1/n^2} \to p^{-\frac{3(\pi^2-4)}{2\pi^2}} < 1$ を通じて証明され、補題1の条件を満たす。
• 有理数 $c$ を用いた $L = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{cp^k - 1}$ に対しても一般化可能であり、無理数性測度の上界は $\frac{3\pi^2}{\pi^2 - 3} \approx 4.310119$ に達し、Bundschuh と Vänänen の境界と一致する。
• 分母 $b_n$ の成長率は $b_n = p^{\frac{3(\pi^2+4)}{2\pi^2}n^2 + o(n^2)}$ であり、導出された無理数性測度を裏付ける。
• little $q$-Legendre多項式の使用は、Apéryの方法の精神に則った体系的かつ強力な無理数性証明フレームワークを提供し、$\zeta(2)$ および $\zeta(3)$ の $q$-拡張へも拡張可能である。