[論文レビュー] $Lmc-$compactification of a semitopological semigroup as a space of e-ultrafilters

M. Akbari Tootkaboni|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Rings, Modules, and Algebras参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、半位相的半群の $Lmc$-コンパクト化を $e$-超フィルターの空間として再構成し、コンパクト化の位相的および代数的特徴付けを提供する。主な貢献は、$S^* = S^{Lmc} \setminus \varepsilon(S)$ が左イデアルであるための必要十分条件を提示することである：任意の $x,y \in S$ に対して、コンパクトなゼロ集合 $A$ が存在し、$x \in A^\dagger$ かつ $\{t \in S : yt \in A\}$ がコンパクトである。

ABSTRACT

Let $S$ be a semitopological semigroup and $\mathcal{CB}(S)$ denotes the $C^*$-algebra of all bounded complex valued continuous functions on $S$ with uniform norm. A function $f\in \mathcal{CB}(S)$ is left multiplicative \linebreak continuous if and only if $\mathbf{T}_μf\in \mathcal{CB}(S)$ for all $μ$ in the spectrum of $\mathcal{CB}(S)$, where $\mathbf{T}_μf(s)=μ(L_sf)$ and $L_sf(x)=f(sx)$ for each $s,x\in S$. The collection of all left multiplicative continuous functions on $S$ is denoted by $Lmc(S)$. In this paper, the $Lmc-$compactification of a semitopological semigroup S is reconstructed as a space of $e-$ultrafilters. This construction is applied to obtain some algebraic properties of \linebreak $(\varepsilon ,\s)$, that $ \s $ is the spectrum of $Lmc(S)$, for semitopological semigroups $S$. It is shown that if S is a locally compact semitopological semigroup, then $S^*=\s \setminus \varepsilon(S)$ is a left ideal of $\s$ if and only if for each $x,y\in S$, there exists a compact zero set $A$ such that $x\in A$ and $\{t\in S:yt\in A\}$ is a compact set.

研究の動機と目的

• 半位相的半群の $Lmc$-コンパクト化を $e$-超フィルターを用いて、新たな位相的および代数的構成を提供すること。
• 左乗法的連続関数の代数 $Lmc(S)$ のスペクトル $S^{Lmc}$ の構造を特徴づけること。
• 局所コンパクトな半位相的半群に対して、$S^* = S^{Lmc} \setminus \varepsilon(S)$ が $S^{Lmc}$ 内で左イデアルとなる条件を特定すること。
• Stone-Čechコンパクト化 ($\beta S$) における既知の結果を $Lmc$-コンパクト化の枠組みへと拡張すること。
• 特に局所コンパクトな半位相的半群に対して、位相的キャンセラティビティと $S^{Lmc}$ 内のイデアル構造との関係を明確にすること。

提案手法

• すべての $\mu \in \mathcal{CB}(S)$ のスペクトルに対して、$s \mapsto \mu(L_s f)$ が $\mathcal{CB}(S)$ に属するような、$S$ 上の有界複素数値連続関数の $C^*$-代数 $Lmc(S)$ を定義する。
• Gelfand位相を備えた $Lmc(S)$ のスペクトルとして $Lmc$-コンパクト化 $S^{Lmc}$ を構成する。
• 関数 $f \in Lmc(S)$ のゼロ集合を用いて定義される $e$-フィルターを用いて、$S^{Lmc}$ を $e$-超フィルターの空間として再構成する。
• $e$-超フィルターの空間に位相を入れ、右位相的半群となるような二項演算を定義する。
• $z$-フィルターと $e$-フィルターの対応関係を用いて、$\mathcal{CB}(S)$ と $Lmc(S)$ 内のイデアル構造を関連づけ、[3, 2L] の手法を適応する。
• この構成を用いて $S^{Lmc}$ のイデアル構造、特に $S^* = S^{Lmc} \setminus \varepsilon(S)$ の性質を分析し、それが左イデアルであるための条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトな半位相的半群 $S$ に対して、集合 $S^* = S^{Lmc} \setminus \varepsilon(S)$ が $S^{Lmc}$ 内で左イデアルであるための条件は何か？
• RQ2 半位相的半群の $Lmc$-コンパクト化は、どのように $e$-超フィルターの空間として特徴づけられるか？
• RQ3 位相的弱左キャンセラティビティと $S^{Lmc}$ のイデアル構造との関係は何か？
• RQ4 $\beta S$（Stone-Čechコンパクト化）の性質が $S^{Lmc}$ へどの程度拡張可能か？
• RQ5 評価写像 $\varepsilon: S \to S^{Lmc}$ が開写像または単射であるのはいつか？ そしてこれは $S^{Lmc}$ の代数的構造とどのように関係するか？

主な発見

• $Lmc$-コンパクト化 $S^{Lmc}$ は、$e$-超フィルターの空間として再構成され、コンパクト化の新たな位相的および代数的表現が得られた。
• 局所コンパクトで非コンパクトなハウスドルフ半位相的半群 $S$ に対して、$S^*$ が $S^{Lmc}$ の左イデアルであるための必要十分条件は、任意の $x,y \in S$ に対して、コンパクトなゼロ集合 $A$ が存在し、$x \in A^\dagger$ かつ $\{t \in S : yt \in A\}$ がコンパクトであることである。
• $S$ が位相的弱左キャンセラティブであるならば、$S^*$ は $S^{Lmc}$ 内の閉じた左イデアルであり、逆に $S^*$ が閉じた左イデアルならば、$S$ は位相的弱左キャンセラティブである。
• 局所コンパクトな位相群 $G$ に対して、$G^*$ が $G^{\mathcal{LUC}}$ の左イデアルであるための必要十分条件は、$G$ が位相的弱左キャンセラティブであることである。
• $Lmc$-コンパクト化は $\mathcal{LUC}$-コンパクト化を一般化しており、特に局所コンパクト群では $Lmc(G) = \mathcal{LUC}(G)$ が成り立ち、評価写像は開写像である。
• 反例により、$S$ がキャンセラティブであっても、$S^*$ が部分半群や左イデアルでないことがあることが示された。特に $S = (1,\infty)$ に加法を定義した場合にその例が提示された。